Нормальное распределение и распределение Парето

Два распределение - нормальное (Гауссово) и Парето (80/20). Они — как два разных взгляда на устройство мира: один про баланс, другой — про дисбаланс.

Гаусс: мир равных возможностей, где всё как у всех, нет героев, но нет и провалов.

Нормальное распределение — это кривая с пиком в центре и симметричными «хвостами». Оно возникает, когда много независимых факторов складываются в общий результат.

Примеры. Рост людей: большинство близки к среднему, а великаны и карлики — редкость. Биологические параметры: давление, вес, скорость реакции. Ошибки измерений: при многократном взвешивании погрешности распределяются вокруг истинного значения.

Распределение Гаусса описывает равновесие и отклонение от него. Здесь всё сбалансированно, отклонения в обе стороны симметричны и тем реже, чем они сильнее.

Парето: мир, где выживает сильнейший. Власть меньшинства. Мир стартапов, науки и социальных сетей, где влияние одной звезды может быть силнее действия тысячи других человек. Мир неравномерен, и это его естественное состояние.

Закон Парето (степенное распределение) — асимметричный, с «тяжёлым хвостом».

Здесь: 20% усилий дают 80% результата; 20% людей владеют 80% всех ресурсов; 20% людей выпивают 80% пива; 20% слов несут 80% смысла. Также этот закон встречается в распределении популярности книг, песен, сайтов, «вирусности» постов, в ошибках в коде, в распределении расходов на здравоохранение и т.п. Идея 20/80 стала универсальной метафорой, условным обозначением принципа сильной асимметрии, когда многое сосредоточено в малом, но реальное отношение, конечно, может быть и другим.

Закон Парето описывает дисбаланс, неравенство и «чёрных лебедей» — событий, которые редко происходят, но всё переворачивают (термин Нассима Толеба, автора экономических бестселлеров).

Гаусс возникает из-за сложения факторов (например, рост = гены + питание + спорт; это отражает Центральную предельную теорему).

Парето — из-за мультипликативных процессов (богатство = капитал × инвестиции × удача), когда механизм роста является кумулятивным, т.е. накапливает преимущество. Например, кто уже богат, может быстрее разбогатеть; кто уже популярен, чаще становится ещё популярнее.

Но бывают ситуации, когда всё запутано. Например,

• Финансы: Ежедневные колебания цен часто близки к нормальному распределению, но кризисы (например, обвалы рынков, пузыри) описываются «хвостами» Парето.
• Социология: Доходы большинства людей могут быть условно «нормальными», но сверхбогатые формируют «хвост» Парето.
• Интернет-трафик: Большинство посещений сосредоточено на небольшом числе сайтов (Парето), но активность внутри сайта может быть нормально распределена.
• Природные катаклизмы: землетрясения малой магнитуды встречаются часто (Гаусс); мегаземлетрясения редки, но разрушительны (Парето).
• Успеваемость студентов: если курс построен ровно — получится Гаусс. Но если есть бонусы и лидерство — появится Парето.
• Продажи книг: если книги примерно одинаково популярны — Гаусс. Но в реальности — один «Гарри Поттер» делает кассу.
• Вклад сотрудников в проект: в чётко организованной команде — ближе к норме; в креативной среде — один гений может всё изменить.

Мир не выбирает между «равенством» и «неравенством» — он использует оба сценария. Гаусс и Парето — два ключа к разным дверям реальности. Первый работает в мире стабильности и усреднённости, второй — в мире неравенства и катастроф. Мир не всегда «средний» — иногда он «хвостатый». Гауссово распределение отражает баланс и стабильность, а Парето — концентрацию и изменчивость. Понимание этого помогает видеть целостную картину.

Кто играет большую роль: Гаусс (предсказуемость) или Парето (стремительный рост ценой риска)?
И как вы себе представляете идеальное общество — какое оно: справедливое (Гаусс) или эффективное (Парето)?

Но Гаусс и Парето — не конкуренты, а, скорее, союзники; это два ключевых инструмента в богатой палитре теории вероятностей, но есть ещё десятки других, которые дополняют их. Само их выделение и противопоставление оправдано лишь с определённой точки зрения.

Другие распределения лучше отражают свой какой-то кусочек реальности. Например, время ожидания (между кликами в интернете или радиоактивный распад) хорошо описывается экспоненциальным распределением. А число успехов при фиксированном количестве попыток или число опечаток на странице — биномиальным распределением.

В реальности мы часто наблюдаем гибриды или переходы от одного к другому. Например: распределение доходов или размеры городов может быть логнормальным в середине, и Парето в хвосте. Времена между поломками могут быть экспоненциальны, но также с «тяжёлым хвостом», если есть сбои-катастрофы. Мир данных — как калейдоскоп: повернёшь под другим углом — увидишь новую закономерность. Гаусс, Парето и другие распределения — это линзы, через которые мы рассматриваем реальность. Чем больше линз — тем полнее картина! Как говорил статистик Джордж Бокс: «Все модели неправильны, но некоторые полезны».

Базовые алгоритмы машинного обучения

Когда говорят о машинном обучении, часто возникает ощущение чего-то сложного, почти магического. На практике же большая часть задач в анализе данных решается довольно ограниченным набором базовых алгоритмов. Они разные по духу, но каждый отвечает на простой вопрос: как из данных извлечь структуру — зависимость, границу, группы или вероятности.

Линейная регрессия — самый прямолинейный способ предсказания. Она пытается описать данные простой зависимостью: если меняется одно, как меняется другое. Типичный пример — оценка цены квартиры по площади, району, этажу. Алгоритм не «понимает» рынок, он просто подбирает наилучшее линейное приближение, которое в среднем ошибается меньше всего.

Логистическая регрессия, несмотря на название, используется не для чисел, а для решений типа «да / нет». Спам это или не спам, уйдёт пользователь или останется. Она не просто выбирает класс, а оценивает вероятность, что объект относится к нему. Это делает модель особенно удобной там, где важно понимать степень уверенности.

Дерево решений работает как набор вложенных вопросов: если выполнено одно условие — идём туда, если другое — сюда. Такие модели легко объяснять людям, потому что путь решения можно буквально проследить. Но за эту наглядность приходится платить: деревья легко подстраиваются под шум и начинают «запоминать» данные вместо того, чтобы обобщать.

Метод опорных векторов (SVM) ищет границу между классами так, чтобы она была максимально устойчивой. Интуитивно — это попытка разделить данные с запасом прочности. Алгоритм хорошо работает на задачах средней сложности, особенно когда данных не слишком много, а граница между классами не совсем очевидна.

Метод ближайших соседей (KNN) вообще ничего не «учит» заранее. Чтобы классифицировать новый объект, он просто смотрит на похожие объекты в данных и голосует. Это делает алгоритм концептуально простым и понятным, но на больших объёмах данных он становится медленным, потому что каждый новый запрос требует сравнения со всеми остальными.

Снижение размерности — это не столько алгоритм, сколько класс методов. Их цель — упростить данные, оставив главное. Когда признаков слишком много, часть из них дублирует друг друга или добавляет шум. Такие методы позволяют сжать пространство признаков, сделать данные более наглядными или подготовить их для других алгоритмов.

Случайный лес — попытка исправить слабости отдельных деревьев решений. Вместо одного дерева строится много разных, каждое со своими ошибками, а затем их ответы усредняются или объединяются голосованием. В результате модель становится устойчивее и часто даёт хороший результат без тонкой настройки.

K-means — один из базовых алгоритмов кластеризации. Он не знает правильных ответов заранее, а просто пытается разбить данные на заданное число групп так, чтобы внутри групп объекты были похожи друг на друга. Это полезно для исследования данных, поиска сегментов или предварительного анализа.

Наивный Байес — вероятностный подход, который делает сильные упрощающие предположения о независимости признаков. Несмотря на это (а иногда и благодаря этому), он оказывается неожиданно эффективным, особенно в задачах работы с текстами, где скорость и устойчивость важнее тонкой подгонки.

В сумме эти алгоритмы образуют своего рода «алфавит» машинного обучения. Современные модели могут быть гораздо сложнее, но почти всегда они либо развивают эти идеи, либо комбинируют их между собой. Понимание базовых методов даёт не только техническую основу, но и интуицию: что именно модель делает с данными и почему она ошибается там, где ошибается.

Источник - телеграмм-каналы.

Немного о философии и математике

Вопрос: "Означает ли смысл понятия использование понятия или смысл содержит сущее за рамками использования понятия?"

Определение некоторого объекта называется непредикативным, если оно ссылается на совокупность объектов, к которой будет принадлежать и тот, который хотелось бы определить. 

Ссылаться означает использовать универсальную квантификацию на такой совокупности.

Фреге полагал, что при отсутствии единственности аксиомы не могут предъявлять определения.

Вопрос: "Число как понятие имеет ли отдельное, а не как нечто общее (например, общее понятие)?"

Определить такое понятие, как «число» или «континуум», означает дать определение, которое имело бы одну единственную реализацию, если рассматривается семантическое соотношение между определяющей формулой и тем, что определено. В логике первого порядка нет категоричных теорий (то есть теорий с одной единственной моделью) за исключением нескольких банальных. Если категоричность является целью, то необходимо искать какую-то другую логику. Только логика второго порядка или высшего порядка могла бы, кажется, обеспечить единственность таких структур, как натуральные числа или кумулятивная иерархия.

Почти во всех научных языках нумерал для числа 5 не является первичным символом, а представляет собой термин, сконструированный на основе других, более фундаментальных; система счисления на основе десяти – обычно производная, и десять цифр введены как аббревиатура.

Под нумералом в литературе понимается символ или группа символов, используемых для представления числа. Различие между нумералами и числами такое же, как между словами и идеями, которые выражаются словами, то есть число есть концепция, которую выражает нумерал. Нумерал может быть написан, зачеркнут или стерт, а число – нет. Одно и то же число может быть представлено различными нумералами, например, символы «5», «пять», «IIIII» и «V» представляют собой различные нумералы, но все они выражают одно и то же число.

Метафизик, который высказывает свои многозначительные утверждения о действительности, должен иметь определенный познавательный инструмент, который он сам и все те, кто его слу-шает, считали бы надежным и достоверным или, по крайней мере, функционирующим корректным образом. Кроме того, этот инструмент не должен опираться на эмпирические преходящие аспекты реальности. Этот инструмент есть не что иное, как способность, которую обычно называют «разум» со всеми его проявлениями, среди которых ум, трансцендентальный интеллект, интеллектуальная интуиция и прочее.

В отношении знания возможна постановка как минимум двух различных типов вопросов: каким образом оно приобретается и как оно обосновывается или подтверждается. Философии матема-тики различаются между собой именно в зависимости от того, рассматривают ли они происхождение или же они только обоснование итогового результата, который обычно и считается математикой.

Если люди говорят «я знаю, что…», то обычно ссылаются, даже неумышленно, на некоторое положение вещей, и совершенно другой случай, если люди говорят «я знаю, как…».

С традиционной философской точки зрения математика представляет собой некое множество истин, а философские истины не имеют оттенков, нюансов и степеней приближения. Они касаются бытия и произведены разумом, а не опытом.

К примеру, на основании определения «знания» могут существовать истины абсолютно непознаваемые, как, например, утверждение «никто не знает это утверждение», представляющее собой истинное высказывание, которое никто не может знать, что легко проверить. Существуют также пустые знания типа фразы: «Только одну единственную вещь мы и знаем, что знаем только эту вещь». Это выражает неоспоримую истину, которая, правда, не говорит ничего.

Источник

ГАБРИЭЛЕ ЛОЛЛИ 

Философия математики 

НАСЛЕДИЕ ДВАДЦАТОГО СТОЛЕТИЯ 

Перевод с итальянского А.Л. Сочкова при участии С.М. Антакова 

Под редакцией профессора, доктора физико-математических наук Я.Д. Сергеева 

Нижний Новгород 

Издательство Нижегородского госуниверситета 

2012

* * *

Афоризм. 

Есть люди, которые будут комфортнее чувствовать себя в лабиринтах Альп с картой Пиренеев в руках, чем вообще без карты.

Шестая проблема Гильберта

Давид Гильберт поставил перед научным сообществом амбициозную задачу — привнести в физику более строгий математический подход. В то время физики активно спорили о базовых понятиях: что такое тепло? Как устроены молекулы? Гильберт надеялся, что формальная логика математики сможет дать ясность. Утром 8 августа 1900 года на Международном конгрессе математиков он представил список из 23 ключевых математических проблем, которые должны были направлять исследования на столетие вперед. Шестая проблема была особенно смелой: разработать строгую аксиоматическую основу для законов физики.

Объем задачи, заданной Гильбертом, был огромен. Он предлагал подходить к физике, где математика играет важную роль, так же, как к геометрии — через аксиомы. По словам Дэйва Левермора, математика из Университета Мэриленда, это была скорее программа, чем задача с конкретным решением. Полное решение шестой проблемы, по сути, невозможно, но Гильберт указал направление. Например, он интересовался, можно ли доказать, что разные уравнения, описывающие свойства газа (движение молекул или его среднюю температуру), являются различными аспектами одной реальности, как предполагали физики, но не могли строго обосновать.

За 125 лет даже частичное решение этой задачи казалось недостижимым. Математики делали шаги вперед, доказывая связи между уравнениями только в особых случаях — например, для очень коротких временных интервалов или искусственно упрощенных условий. Однако это не соответствовало масштабам замысла Гильберта. И вот, спустя более чем век, трое математиков — Юй Денг, Захер Хани и Сяо Ма — добились значительного прогресса, решив одну из ключевых частей проблемы. Их работа не только продвигает программу Гильберта, но и затрагивает вопросы необратимости времени.

Рассмотрим газ с сильно разбросанными частицами. Физики моделируют его на разных уровнях. На микроскопическом уровне газ состоит из молекул, которые ведут себя как бильярдные шары, двигаясь по законам Ньютона. Эта модель называется системой твердых сфер. Если отойти чуть дальше, на мезоскопическом уровне, отслеживать каждую молекулу становится невозможно. Здесь применяется уравнение Больцмана, разработанное Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом в XIX веке. Оно описывает вероятное поведение молекул, указывая, сколько частиц можно найти в разных точках с разными скоростями. Это помогает изучать, например, движение воздуха вокруг космического корабля.

Еще дальше, на макроскопическом уровне, газ воспринимается как сплошная субстанция. Для описания его плотности и скорости движения используется набор уравнений Навье-Стокса. Физики считают эти модели совместимыми, но математики, работавшие над шестой проблемой Гильберта, стремились доказать это строго. Они хотели показать, что модель Ньютона порождает уравнение Больцмана, а оно, в свою очередь, ведет к уравнениям Навье-Стокса.

Частичный успех был достигнут на втором этапе: доказано, что из мезоскопической модели можно вывести макроскопическую в определенных условиях. Но первый шаг — от микроскопического к мезоскопическому — оставался нерешенным, нарушая логическую цепочку. Теперь это изменилось. В серии работ Денг, Хани и Ма доказали этот сложный переход для газа в одной из заданных ситуаций, впервые завершив цепочку.

Больцман показал, что законы Ньютона могут привести к его уравнению, если молекулы газа движутся относительно независимо друг от друга, то есть повторные столкновения одной и той же пары молекул редки. Однако он не мог математически доказать эту гипотезу из-за отсутствия подходящих инструментов. Оскар Ланфорд в 1975 году частично решил эту задачу, доказав гипотезу для крайне коротких временных интервалов — менее чем за миг. Но его доказательство рушилось, если учитывать более длительные периоды, когда вероятность повторных столкновений возрастала.

Долгие годы математики пытались расширить результат Ланфорда, но безуспешно. В ноябре 2023 года Денг и Хани опубликовали препринт, намекающий на предстоящее доказательство. Они планировали развить свои находки для исследования долгосрочного расширения теоремы Ланфорда.

В 2023 году Денг и Хани анализировали переход от микроскопического к мезоскопическому уровню для волн. Годом раньше Денг на конференции встретил аспиранта Принстона Сяо Ма, и их обсуждение привело к идее адаптации методов к частицам. Это позволило бы показать редкость повторных столкновений на более длительных интервалах. Вдохновленные идеями Ма, они пригласили его в команду. Троица сосредоточилась на изученной ситуации: разреженный газ сферических частиц в замкнутом ящике, где частицы, ударяясь о стенки, появляются с противоположной стороны.

Для доказательства микроскопического шага они начали с более простой модели — газа в бесконечном пространстве, где частицы со временем рассеиваются и перестают сталкиваться. Здесь Денг отметил наличие "сокращения пути". Они классифицировали возможные схемы столкновений и их вероятности, исключая случаи с высоким числом повторных столкновений. Оставшиеся, хоть и многочисленные, схемы анализировались детально. Сложность заключалась в учете множества частиц и косвенных взаимодействий.

Опыт Денга и Хани с волнами помог: они научились разбивать сложные паттерны на простые, оценивая вероятности. Однако частицы, в отличие от волн, отскакивают друг от друга, что потребовало переработки подхода. Команда начала с простых случаев — несколько столкновений без повторений — и постепенно усложняла задачу. Это был процесс, занимавший месяцы, с ежедневными встречами на Zoom, иногда по ночам.

К весне 2024 года доказательство было готово. Летом они опубликовали работу, показав, что в модели бесконечного пространства уравнение Больцмана выводится из законов Ньютона. Осенью они адаптировали результат для газа в ящике, где 80% доказательства осталось прежним. В марте 2025 года новый препринт объединил их находки с ранее доказанными связями между уравнениями Больцмана и Навье-Стокса, завершив логическую цепочку.

Эта работа не только решает часть проблемы Гильберта, но и объясняет парадокс времени. На микроскопическом уровне время обратимо по законам Ньютона, но на мезо- и макроуровнях — нет. Больцман утверждал, что почти все сценарии приводят к рассеянию газа, а обратное развитие маловероятно. Денг, Хани и Ма подтвердили это для реалистичных условий.

Источник
https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/

Математика счастья, совести, выбора, заблуждений

Математика счастья: выбор между гарантированным миллионом и рискованным миллиардом

Математика счастья

Кажется, математика подсказывает очевидный ответ. Математическое ожидание варианта с риском составляет 0,01·1 000 000 000 + 0,99·0 = 10 000 000 долларов. Это в 10 раз больше гарантированного миллиона! Однако подавляющее большинство людей интуитивно выбирает вариант А. В чем же дело? Ошибка не в нашей иррациональности, а в несовершенстве математической модели, которая уравнивает деньги и счастье.

Это классическая проблема, уходящая корнями в Санкт-Петербургский парадокс, который в XVIII в. сформулировал швейцарский математик Д. Бернулли. Он первым предложил ключевую идею: ценность денег нелинейна. Рациональный человек максимизирует не ожидаемую денежную выгоду, а ожидаемую полезность. Полезность — это философско-экономическая мера удовлетворения или благополучия.

Бернулли предположил, что полезность богатства растёт логарифмически: U(w) = ln w, где w — это благосостояние. Это неплохо объясняет нашу осторожность. Переход от 10 000 до 1 010 000 долларов — колоссальный скачок в качестве жизни. Но переход от 1 000 000 000 к 1 001 000 000 для миллиардера практически незаметен. Логарифм учитывает это: прирост полезности от добавления одной и той же суммы денег тем меньше, чем выше исходное благосостояние.

Давайте смоделируем наш изначальный выбор с помощью функции Бернулли. Допустим, текущее благосостояние человека — $10 000.

Вариант А (гарантия): U = ln(10 000 + 1 000 000) ≈ ln(1 010 000) ≈ 13,83.

Вариант Б (риск): E[U] = 0,01·ln(10 000 + 1 000 000 000) + 0,99·ln(10 000) ≈

0,01·20,72 + 0,99·9,21 ≈ 9,32.

Ожидаемая полезность рискованного варианта (9,32) оказывается значительно ниже полезности гарантированного миллиона (13,83). Математика, наконец, согласилась с интуицией! Интересно, что если мы начнём увеличивать начальное благосостояние, точка безразличия, где оба варианта становятся равнопривлекательными, наступит примерно при $400 миллионах.

Эта концепция вышла далеко за рамки теоретических пари. В середине XX в. Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн формализовали теорию ожидаемой полезности, заложив основы современной экономики и теории игр. Она объясняет не только наши бытовые решения, но и глобальные экономические стратегии.

Почему большинство предпочитает стабильную зарплату предпринимательскому риску с потенциально высоким доходом? Потому что потеря гарантированного уровня жизни (высокая полезность) болезненнее, чем вероятность приобретения большего богатства (низкий прирост полезности).

Эта модель также даёт мощный аргумент в пользу предпочтения людьми социального государства. Когда общество через налоги и социальные программы (медицина, образование, поддержка безработных) страхует человека от серьёзных падений, оно сглаживает его кривую полезности. Потери становятся менее страшными. А значит, люди могут позволить себе больше риска — инновации, запуск стартапов.

Любопытный факт: страны с сильной социальной защитой, такие как Швеция или Дания, последовательно лидируют по количеству стартапов и «единорогов» (компаний с рыночной стоимостью свыше $1 млрд) на душу населения. Это не просто совпадение, а прямое следствие снижения индивидуального риска, что математически описано функцией полезности.

Конечно, модель Бернулли — лишь рабочая гипотеза. Она упрощает мир. На наше чувство «полезности» влияют десятки факторов: зависть, альтруизм, прошлый опыт, культурные нормы. Современные поведенческие экономисты лауреаты Нобелевской премии Д. Канеман и А. Тверски, показали, что мы по-разному оцениваем потери и приобретения (теория перспектив), что является дальнейшим развитием этих идей.

Однако именно простота и элегантность логарифмической функции делают её прекрасной отправной точкой. Она показывает: прежде чем принимать решение, стоит спросить себя — мы считаем деньги или счастье? И иногда математический ответ — это не большая сумма в долларах или рублях, а спокойный сон и уверенность в завтрашнем дне.

Источник: https://t.me/mathematics_not_for_you.

Математика не для всех.

Парадокс Симпсона

Как статистика обманывает ваш мозг

Представьте ситуацию: вы выбираете хирурга.

• Хирург А: Успешно провел 90% операций.
• Хирург Б: Успешно провел 80% операций.

Кого вы выберете? Конечно, А. А что, если я скажу вам, что Хирург Б на самом деле лучше, и если вы хотите выжить, надо идти к нему? Это не ошибка. Это статистическая ловушка.

Реальный пример: Скандал в Беркли. Самый известный случай произошел в 1973 году в университете Беркли. Администрация посмотрела на статистику поступления и ужаснулась:

• Принято 44% мужчин.
• Принято 35% женщин.

Разрыв огромный! Университет обвинили в сексизме и дискриминации женщин. Началось расследование. Статистики начали проверять каждый факультет отдельно, чтобы найти виновных. Когда они разбили данные по кафедрам, случилось невероятное.
Оказалось, что на большинстве факультетов процент приема женщин был ВЫШЕ, чем у мужчин!

Как такое возможно?

• Глобально: Мужчин берут чаще.
• Локально (на каждом факультете): Женщин берут чаще.

Разгадка

Причина крылась в том, КУДА подавали документы абитуриенты.

• Мужчины массово штурмовали технические факультеты, где было много мест и высокий процент приема (скажем, брали 60 из 100).
• Женщины чаще подавали на гуманитарные специальности с безумной конкуренцией, где брали всего 5 человек из 100.

Даже если женщины поступали блестяще и побеждали мужчин в конкурентной борьбе на своих факультетах, их общая статистика тянулась вниз, потому что они играли в «сложную игру», а мужчины - в «легкую».

Где это опасно для жизни?

В медицине. Вернемся к хирургам.

• Хирург А (90% успеха) оперирует только легкие случаи (удаление аппендицита), где риск умереть минимален.
• Хирург Б (80% успеха) - гений, который берется за сложнейшие операции на сердце, от которых отказались остальные. У него умирают чаще, но только потому, что к нему везут безнадежных пациентов.

Если не знать контекст (сложность операции), можно сделать фатальную ошибку, выбрав «статистически успешного» врача.

Итог: Цифры сами по себе ничего не значат без контекста. Всегда спрашивайте: «А из чего складывается этот средний показатель?»

Источник: @Pomatematike

Влияние формулировки на выбор

Мы спрашивали участников эксперимента: 

“Вы проводите отпуск за границей и раздумываете, воспользоваться ли услугами местной авиалинии, чтобы посетить один необычный остров. По стати­ стике безопасности, если летать названным рейсом раз в год, в среднем возможна одна катастрофа в ты­ сячу лет. Если вы откажетесь от перелета, вы вряд ли снова посетите этот угололк земли. Согласитесь ли вы полететь?” Все респонденты ответили утвердительно. 

Но затем мы изменили формулировку второго предложения: “По статистике безопасности, на этой ли­нии в среднем один полет из тысячи кончается ката­ строфой”. И что же? Лишь 70% заявили, что полетят. 

А ведь в обоих случаях вероятность аварии — один к тысяче; просто вторая формулировка звучит более “рискованно”.

Цитата из книги Талеб Н. - О секретах устойчивости - 2012

Булева алгебра совести Владимира Лефевра

Могут ли моральные терзания человека подчиняться законам математической логики? На этот вопрос в своей книге «Алгебра совести» ответил В.А. Лефевр, советский учёный, ставший профессором Калифорнийского университета. Он предложил радикальную идею: совесть — не абстрактное чувство, не туманный голос внутреннего «я», а вычислительный механизм, бинарный процессор, в котором добро кодируется как 1, зло — как 0, а этический выбор становится операцией с булевыми переменными.

Центральная формула модели. 

G = (P ∧ ¬B) ∨ (¬P ∧ B).

Определение готовности к добру с двумя параметрами: 

• P (давление настоящего: 1 при альтруистическом методе, 0 при эгоистическом),
• B (ожидание будущего: 1 при вере в успех, 0 при пессимизме). 

Эта структура эквивалентна операции «исключающее ИЛИ». Она создаёт парадоксальную логику: склонен к добру либо когда окружающая среда враждебна, но человек верит в лучшее (P=0, B=1), либо когда окружение человека благоприятно, но он предвидит крах (P=1, B=0). Так математически объясняется феномен жертвенности — действие вопреки обстоятельствам ради высших целей.

Лефевр выделил две базовые этические системы.

Западная («добро ∪ зло = зло») следует правилу минимума: даже малая доля зла (0) обнуляет все поступки («капля дёгтя портит бочку мёда»). 

Её формула вины 

V = p · R

Произведение вероятности вреда p на масштаб последствий R предполагает ответственность за последствия. 

Так, врач, допустивший ошибку при спасении жизни, несёт вину, даже если его намерения были чисты. Эта система обеспечивает нулевую терпимость к компромиссам. В ней индивиды возвышаются в собственных глазах, когда вступают в сотрудничество друг с другом, т.к. именно кооперация минимизирует риск ошибки (p) и распределяет ответственность (R), снижая индивидуальную вину (V) и создавая ощущение моральной чистоты коллективно действия.

Восточная система («добро ∪ зло = добро») работает по принципу максимума: добро (1) доминирует над злом (0) («цель оправдывает средства»). Здесь вина зависит от намерения: V = M/(E + 1), где M — мера умысла, E — приложенные усилия. Единица в знаменателе обеспечивает конечную вину даже при E=0, что отражает неотвратимость моральной ответственности. Такой подход оправдывает тактические ошибки ради великой цели, как в случае буддийского монаха, солгавшего ради спасения жизни товарища. В этой системе индивиды возвышаются в своих глазах, когда вступают в конфликт, поскольку активное противостояние (высокое E) служит доказательством силы их намерения (М) ради высшего блага, снижая личную вину (V) через демонстрацию преданности цели.

Ключевое открытие Лефевра — эти системы не только существуют в культурах, но и конкурируют внутри одного человека. Например, юрист, отвергающий выгодный ход дела из-за этических сомнений (западная логика), может простить близкому человеку обман при искреннем его раскаянии (восточная логика). Лефевр математически описал этот переход через весовые коэффициенты: при доминировании внешних оценок (P → 1) активируется западная система, при рефлексивном анализе (B → 1) — восточная.

Модель нашла неожиданное применение в геополитике. Во время холодной войны Лефевр консультировал Белый дом, объясняя, что СССР использует гибридную этику: декларируя восточную идею «коммунизм как высшая добродетель», внутри применяемых западных критериев (нулевая терпимость к инакомыслию). Такой парадокс запутывал западных дипломатов, привыкших к логической однозначности.

Сегодня модель Лефевра заставляет разработчиков ИИ задуматься: по какому принципу должен действовать алгоритм в моральной дилемме — минимизировать риск вреда (западный подход) или стремиться к высшей цели, допуская возможные издержки (восточный подход)? Формула Лефевра раскрывает мораль не как набор догм, а как активный диалог между разумом и этикой — диалог, который становится особенно важным в эпоху, когда решения вместо людей принимают алгоритмы.

Источник. Математика не для всех

Правило 37%: Математическая формула идеального выбора

Представьте ситуацию: вы ищете квартиру (или спутника жизни, или сотрудника). Вариантов много, но смотреть их можно только по очереди. И если вы отказались от варианта, вернуться к нему нельзя (квартиру сдали, невеста вышла замуж за другого).

Дилемма:

• Схватить первый попавшийся вариант - упустите что-то лучшее впереди.
• Перебирать до конца - рискуете остаться ни с чем (лучшее уже прошло).

Когда нужно остановиться? Стратегия «Отказывай и наблюдай»

Математики просчитали эту ситуацию и вывели идеальный алгоритм. Он называется Правило 1/e (где e - число Эйлера, ≈2.718). Это примерно 37%.

Как это работает:

1. Определитесь, сколько всего вариантов вы готовы посмотреть (например, 100 квартир или 10 лет активного поиска партнера).
2. Разделите это число на 2.718. Получится 37%.
3. Этап 1: Сбор данных (первые 37%).
4. Этап 2: Охота (остальные 63%).

Просто смотрите и отказывайте всем. Даже если вариант кажется идеальным. Ваша цель здесь - понять рынок и установить планку качества. Запомните самого лучшего из них. Теперь выбирайте ПЕРВОГО, кто окажется лучше, чем тот самый лучший из первой группы.

37% - это баланс между риском «выбрать слишком рано» и риском «упустить всех».

• Если вы посмотрите только 10% вариантов, у вас мало информации, вы выберете кота в мешке.
• Если вы посмотрите 90% вариантов, вы, скорее всего, уже пропустили идеал и теперь выбираете из остатков.

Математика утверждает: следуя правилу 37%, у вас самые высокие шансы (около 37%) выбрать абсолютно лучший вариант из всех возможных.

Пример из жизни

Вы решили посмотреть 10 квартир.

1. Первые 3 квартиры (37% от 10) вы смотрите только для ознакомления. Допустим, 2-я была супер, но вы скрепя сердце идете дальше.
2. Начиная с 4-й квартиры, вы готовы вносить залог.
3. Как только вы видите квартиру, которая лучше, чем та самая 2-я, - берите её. Не думайте.

Итог: Хватит бесконечно искать «то самое». Потратьте треть времени на анализ, а потом действуйте решительно. Математика на вашей стороне.

@Pomatematike

Апология математика

Из книги "Апология матетатика" Харди.

Серьезность теоремы

«Серьезность» теоремы определяется не ее практическими последствиями, которых ничтожно мало, а значимостью соединенных в ней математических идей. Говоря обобщенно, математическая идея «значима», если она логично и понятно связывает между собой множество других математических идей. Таким образом, серьезная теорема — та, что связывает значимые идеи, — наверняка повлечет за собой прогресс как в самой математике, так и в других науках.

Серьезность теоремы заключается, конечно, не в ее влиянии — последнее лишь подтверждает ее серьезность. Красота математической теоремы во многом зависит от ее серьезности

Примеры серьезных теорем.

1. Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
2. Доказательство Пифагора, подтверждающее «иррациональность» квадратного корня из двух.
3. Очень красивая теорема — теорема Ферма «о двух квадратах».
4. Теорема Кантора о «несчетности» континуума.

На теореме Евклида держится вся арифметика. Простые числа — как строительный материал, и теорема Евклида гарантирует, что этого ресурса нам хватит для решения всех арифметических задач. А вот область применения теоремы Пифагора гораздо шире, и сформулирована она гораздо лучше.

Теорема Евклида гарантирует, что мы располагаем достаточным количеством строительного материала для создания полноценной арифметики целых чисел. А теорема Пифагора и ее следствия показали, что такой арифметикой нам не обойтись, так как существует множество достойных внимания величин, измерить которые в целых числах нельзя; диагональ квадрата — лишь самый очевидный тому пример.

Значимость идеи  

Значимая математическая идея (и, соответственно, серьезная теорема) должна обладать определенной степенью обобщенности; то есть быть составляющей многих математических конструкций и входить в доказательства различных теорем. Серьезная теорема, как бы узко она ни была сформулирована изначально (как теорема Пифагора), должна позволять достаточно широкие обобщения и представлять целый класс теорем подобного рода.

Концепция «иррациональных чисел» глубже концепции целых, а теорема Пифагора, соответственно, глубже Евклидовой.

Обе теоремы (и под теоремами я, разумеется, имею в виду и их доказательства) отличает высокая степень непредсказуемости в сочетании с непреложностью и экономностью. Доводы поражают своей неожиданностью, применяемые методы кажутся по-детски простыми по сравнению с далекоидущими последствиями; при этом выводы неопровержимы. В рассуждениях нет нагромождения подробностей — каждая строчка бьет в цель.

О реальности, математической и физической

Очень часто, например, астроном или физик спешат объявить, что вывели «математическое доказательство», объясняющее определенное поведение Вселенной. Подобные заявления, если воспринимать их буквально, - полнейший вздор. Невозможно доказать математически, что назавтра наступит затмение, ибо затмения, как и прочие физические явления, не являются частью абстрактного мира математики.

Я убежден, что математическая реальность находится вне нас, что наша задача — открывать или просто наблюдать ее и что теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем собственными «творениями», — всего лишь заметки по ходу наших наблюдений.

Какой бы ни была реальность физика, в ней мало или вообще нет признаков того, что под реальностью подразумевает здравый смысл. Стул может быть как множеством взаимосвязанных электронов, так и божественным замыслом: любое из этих определений имеет свои достоинства, но ни одно не соответствует представлениям здравого смысла.

Ни физикам, ни философам до сих пор не удалось дать убедительное определение «физической реальности» или объяснить, как от запутанного нагромождения фактов или ощущений физик переходит к созданию объектов, которые зовутся «реальными». Поэтому утверждать, будто нам понятна суть физики, мы не можем, зато вполне представляем себе, чем именно занимается физик. Физик пытается свести разрозненную массу не связанных между собой фактов к некой упорядоченной системе абстрактных отношений, позаимствовать которую можно только в математике.

Математик же, напротив, имеет дело с собственной математической реальностью, на которую я смотрю с точки зрения «реалиста», а не «идеалиста» В любом случае (в чем и состоял мой главный тезис) реалистичный взгляд возможен скорее в математической, чем в физической реальности, потому что объекты в математике куда ближе к тому, чем кажутся.

Стул или звезда нисколько не похожи на то, какими нам видятся; и чем больше мы о них думаем, тем размытее их очертания в тумане порождаемых ими ощущений. Тогда как число «2» или «317» никак не зависит от ощущений, а их свойства становятся лишь отчетливее по мере их изучения. Современная физика как раз лучше всего вписывается в идеалистическую философию: я этому не верю, но так говорят признанные физики. Фундаментальная же математика представляется мне камнем, на котором зиждется весь идеализм: 317 — простое число не потому, что мы так думаем или наше мышление имеет ту или иную направленность, а потому, что так оно и есть, так устроена математическая реальность.


---

Однажды я написал: «Наука считается полезной, если ее развитие обостряет существующее неравенство в распределении богатства или еще более явно способствует разрушению человеческой жизни». Эту фразу, написанную в 1915 году, неоднократно цитировали (как за, так и против меня). Разумеется, ее следует рассматривать как чисто риторическое заявление, вполне, впрочем, простительное, учитывая время его появления. — Примеч. авт.
---

Харди Годфри Гарольд. АПОЛОГИЯ МАТЕМАТИКА

* * *

Врожденное качество мы должны развивать. Традиционная аналогия: качество масла уже изначально присутствует в молоке, но чтобы его получить, мы должны взбить молоко.

Мурмурация как динамическая топологическая сеть

Мурмурация — уникальное природное явление, при котором тысячи птиц сбиваются в огромную стаю и ведут себя при этом как единый организм. Сжимаясь и разлетаясь, синхронно меняя направление, взмывая вверх или резко падая вниз, они образуют в небе причудливые, непрерывно меняющиеся фигуры.

С математической точки зрения мурмурацию птиц можно рассматривать как объект изучения топологии движущих сетей. Ключевая модель здесь — постоянно меняющийся ориентированный граф.

Вершины графа — это отдельные птицы. Ребро от вершин A к вершине B существует, если птица B находится в поле восприятия птицы A в данный момент. Важно, что связь несимметрична: птица A может видеть птицу B, но не наоборот, что делает граф ориентированным.

Каждая птица поддерживает связь лишь с ограниченным числом ближайших соседей (обычно 5–7) — это её локальная топологическая окрестность. Критически важно, что взаимодействие определяется топологией, а не метрикой. Птица ориентируется не на фиксированный радиус, а на фиксированное число соседей, независимо от расстояния до них. Именно этот принцип обеспечивает устойчивость стаи при её растяжении или сжатии.

Исследования показывают, что слаженные структуры мурмурации не возникают, если птицы используют метрический принцип, координируя движение только с теми, кто находится в пределах фиксированного радиуса.

Несмотря на отсутствие центрального координатора, из этих локальных правил возникает глобальный порядок. Граф взаимодействий обладает свойствами сети «малого мира»: даже в стае из тысяч особей средняя длина пути между любыми двумя вершинами остается малой. Это обеспечивает почти мгновенное распространение информации: локальное возмущение за доли секунды передаётся по всей системе через цепочку соседей.

Топологическая структура стаи остаётся устойчивой, даже когда её геометрическая форма — положение вершин в пространстве — радикально меняется. Стая может изгибаться, дробиться и сливаться, но её связность сохраняется.

Таким образом, мурмурация — это реализация высокодинамичного графа, в котором простые локальные топологические ограничения порождают сложную глобальную топологию поведения.

Источник: https://t.me/mathematics_not_for_you.

Математика не для всех.

Ошибка игрока

Ночь, когда математика обыграла всех

18 августа 1913 года. Казино Монте-Карло. За столом рулетки происходит нечто невероятное.

Шарик падает на черное.
Снова запуск. Снова черное.
Третий раз. Черное.

К десятому разу вокруг стола собралась толпа. Игроки начали шептаться:

«Это аномалия! Не может же выпадать одно и то же бесконечно. Сейчас природа возьмет своё, и обязательно выпадет красное!»

Люди начали ставить огромные деньги на Красное.

Они были уверены: чем длиннее серия черного, тем выше вероятность красного в следующем раунде. «Оно должно отыграться!».

• 15-й раз: Черное. (Игроки удваивают ставки на красное).
• 20-й раз: Черное. (Паника, люди ставят всё, что есть, на красное).
• 26-й раз: ЧЕРНОЕ.

Только на 27-й раз выпало красное. Но к этому моменту казино уже заработало миллионы, разорив толпу, верившую в «баланс Вселенной».

Этот феномен называется «Ошибкой игрока» (Gambler's Fallacy).

Нам кажется, что у случайности есть память.

• «У меня родились три мальчика подряд, следующая точно будет девочка!»
• «Орел выпал 5 раз, сейчас точно будет решка!»

Суровая реальность: У монетки (и у рулетки) нет памяти. Вселенная не ведет блокнот, в который записывает прошлые результаты. Для монетки каждый бросок это новое, независимое событие. Даже если орел выпал 1000 раз подряд, шанс выпадения орла в 1001-й раз - ровно 50%.

Мы путаем краткосрочную перспективу с долгосрочной.

Да, если бросить монету миллион раз, орлов и решек будет примерно поровну (50/50). Это Закон больших чисел. Но люди ошибочно думают, что этот закон работает на короткой дистанции (в 10 бросков) и что природа будет «исправлять перекос» прямо сейчас. Это не так. Природа не исправляет перекос. Она просто разбавляет его новыми бросками.

Итог: Если вы видите, что «красное» не выпадало уже час, это не значит, что оно «созрело». Это значит лишь то, что вы потратили час, глядя на рулетку.

Источник. @Pomatematike.

Тезис Чёрча-Тьюринга

В этой заметке существенно используются идеи и фразы (местами) следующей статьи

Сверхтьюринговые вычисления и гиперкомпьютеры. Тезис Чёрча-Тьюринга как универсальный предел познания. https://habr.com/ru/articles/961020/

"В 1936 г. Алонзо Чёрч и Алан Тьюринг сформулировали классический тезис Чёрча-Тьюринга, согласно которому любая функция, которую мы интуитивно считаем вычислимой, может быть вычислена машиной Тьюринга. Под «интуитивно вычислимой» они подразумевали функцию, которую математик может вычислить с помощью ручки и бумаги, используя конечный набор простых алгоритмов. И наоборот, функция над натуральными числами может быть вычислена человеком, следующим алгоритму, тогда и только тогда, когда она вычислима машиной Тьюринга".

Тезис Чёрча (часто называемый тезисом Чёрча — Тьюринга) — это фундаментальный принцип в теории вычислимости, который утверждает следующее:

Класс функций, вычислимых с помощью алгоритмов в интуитивном смысле, совпадает с классом частично рекурсивных функций (или, что эквивалентно, с классом функций, вычислимых на машине Тьюринга).

Основные положения тезиса Чёрча

• Интуитивная вычислимость: это те функции, которые человек мог бы вычислить с помощью ручки и бумаги, следуя чёткому алгоритму.
• Формальная вычислимость: функции, которые можно вычислить с помощью строго определённых математических моделей — частично рекурсивных функций или машины Тьюринга.
• Эквивалентность: все известные формальные модели вычислений (λ-исчисление Чёрча, машина Тьюринга, рекурсивные функции) имеют одинаковую вычислительную мощность.

Значение тезиса для математики

Если вы можете придумать пошаговую инструкцию для решения задачи (например, сложение чисел, поиск кратчайшего пути и т. д.), то эта задача вычислима и может быть выполнена на любом универсальном компьютере.

Тезис Чёрча — фундаментальная основа понимания того, что такое вычисление и каковы пределы возможностей алгоритмов и компьютеров.

Тезис Чёрча — Тьюринга лежит в основе всей современной информатики и теории алгоритмов.

Он утверждает, что если задача может быть решена каким-либо алгоритмом, то её можно решить и на машине Тьюринга (или эквивалентной системе). Тезис Чёрча-Тьюринга установил эквивалентность математики и компьютера, а также других вычислительных машин. А также, всё, что в принципе вычислимо, может быть смоделировано машиной Тьюринга.

Этот тезис не доказывается формально, а принимается как естественнонаучный факт, подтверждаемый всей историей математики и компьютерных наук.

Из книги Манин Ю.И. Математика как метафора.

"Такая «открытость» категории, рассматриваемой с точностью до эквивалентности, является существенной, например, для абстрактной теории вычислимости. Тезис Чёрча лучше всего понимать как постулат, согласно которому существует открытая категория «конструктивных миров» – конечных или счетных множеств со структурой и вычислимых морфизмов между ними, – в которой всякий бесконечный объект изоморфен миру натуральных чисел, а морфизмы соответствуют рекурсивным функциям. Существует очень много других интересных бесконечных конструктивных миров, задаваемых с помощью самых разнообразных внутренних структур: слова над данным алфавитом, конечные графы, машины Тьюринга и т. д. Все они, однако, изоморфны ввиду существования вычислимых нумераций".

Значение тезиса Чёрча-Тюринга "за пределами" математики.

В качестве контекста можно рассмотреть такой набор "метафизических" вопросов (вопросы взятяы из статьи):

• Что делает Вселенную познаваемой?
• Почему работает научный метод?
• Всё, с чем мы имеем дело в ощущениях, является симуляцией, сгенерированной мозгом. Всё, что нам известно о мире – продукты нашего разума. Не означает ли это, что мы никогда не сможем узнать, какова реальность на самом деле?
• Откуда мы знаем, что законы физики универсальны и постижимы человеческим разумом?
• Где гарантия, что законы физики изотропны в пространстве и однородны во времени? Может, они варьируются от места к месту, изменялись в прошлом или изменятся в будущем?
• Существует ли вычислительно более мощный компьютер, чем машина Тьюринга?
• Вычислима ли каждая физическая система?
• Является ли сама Вселенная вычислительной машиной?
• Каковы фундаментальные физические и логические ограничения на то, что может быть вычислено и постигнуто?
• Есть ли вычислительный барьер, который невозможно преодолеть, независимо от того, насколько далеко и какими способами развиваются компьютеры? 
• Или новые типы оборудования, основанные на квантовых, релятивистских или квантово-гравитационных явлениях, могут привести к принципиально новым вычислительным парадигмам и сделать невычислимое вычислимым?

"Первым, кто увидел в тезисе Чёрча-Тьюринга физический смысл, был биолог-теоретик Роберт Розен. Он переформулировал тезис как утверждение о невозможности определённого класса физических процессов и предположил, что ограничения в вычислениях объясняют факты о природе, однако на его работу никто не обратил внимания. В 1985 г. Дэвид Дойч в статье «Квантовая теория, принцип Чёрча-Тьюринга и универсальный квантовый компьютер» предложил считать тезис Чёрча-Тьюринга физическим принципом": 

«Я предлагаю переосмыслить «функции Тьюринга, которые естественным образом считались бы вычислимыми» как функции, которые в принципе могут быть вычислены реальной физической системой. Ибо, конечно, было бы трудно считать функцию «естественно» вычислимой, если бы её нельзя было вычислить в Природе, и наоборот». 

В той же статье был сформулирован тезис Чёрча-Тьюринга-Дойча: 

«Каждая конечно реализуемая физическая система может быть идеально смоделирована универсальной модельной вычислительной машиной, действующей конечными средствами». 

Дэвид Дойч показал, что универсальный (квантовый) компьютер способен смоделировать любой конечный физический процесс, и наоборот, любая функция, которую может вычислить физическое устройство, вычислима машиной Тьюринга. Это значит, что физическая реальность не выходит за пределы вычислимого.

* * *

Казалось бы, вывод Дойча ограничивает как реальность, так и познаваемость. Но имеются контаргументы. Определение физической реальности неявно определена как вычислимость и получаем логический (порочный) круг. Если расширить физическую реальность запредельным по отношению вычислимости, то встает вопрос о познаваемости такой запредельности. Человек - как физическое существо оперирует невычислительными объектами. Например, натуральный ряд, или более обще, бесконечное счетное множество не вычислимо. Невычислимо и иррациональное действительное число. Но человек оперирует этими объектами. Сам человек без сомнения объект физической реальности. И тут встает вопрос о идеальном (мысли) отношении идеального к физической реальности. И расширении физической реальности.

Такой ход, - расширение, - проделан в математике по отношению к теоремам Гёделя касательно аксиоматической теории арифметики. А именно как расширение стандартной модели арифметики. 

Иная точка зрения изложена в книге "Большое, малое и человеческий разум" Роджером Пенроузом. В ней представлена "устройство" совершенно новой физики, основанной на идее невычислимости некоторых операций и объективного восстановления волновых функций. Возможно, эта идея позволит созадать физическую теорию нового типа для которой тезис Дейча будет лишь частным случаем.

* * *

Примечание. О определенных видах машин Тьюринга.

Недетерминированная машина Тьюринга (NTM) – это машина Тьюринга, в которой функция перехода приводит к более чем одному выбору, а выбор осуществляется вероятностным образом (подбрасыванием монетки). В отличие от детерминированной машины Тьюринга, которая имеет единственный «путь вычислений», недетерминированная машина имеет «дерево вычислений» (в общем случае — экспоненциальное число путей). Строка принимается, если она принимается хотя бы в одной из ветвей, и отвергается, только если ни одна из ветвей её не принимает. Можно считать, что недетерминированная машина Тьюринга использует параллельные процессоры для вычислений, поскольку на каждом вычислительном шаге она может перейти в несколько состояний, а не только в одно. Вычисление завершается, когда все возможные ветви вычислений находятся в состоянии остановки. Недетерминированная машина Тьюринга быстрее решает NP-задачи, хотя детерминированная машина Тьюринга может моделировать недетерминированную, не занимая существенно больше места, но может использовать существенно больше времени.

Вероятностная машина Тьюринга (PTM), случайная машина Тьюринга (RTM) или машина Тьюринга, подверженная ошибкам (FTM). Это разновидности детерминированной машины Тьюринга, имеющие дополнительный аппаратный источник случайных битов, любое число которых они могут «заказать», загрузить на отдельную ленту и потом использовать в вычислениях. Вероятностная машина на каждом шаге может делать случайный выбор между несколькими переходами с заданной вероятностью, случайная машина выбирает следующее состояние при каждом переходе с равной вероятностью, а подверженная ошибкам моделирует ненадёжное вычисление в условиях аппаратных сбоев и шумов. Однако ни истинная квантовая случайность, ни детерминированная псевдослучайность не делают невычислимые задачи вычислимыми. Генератор случайных чисел в качестве источника входных данных может создавать случайные невычислимые функции или помогать угадывать правильное решение, но не даёт гарантированных ответов на неразрешимые проблемы.

Числа, которые невозможно записать

Математики нашли числа, которые невозможно записать. Даже всей Вселенной не хватит

Представьте, что вам показывают ряд чисел: 1, 6, 21, 107 и — внимание! — 47 176 870. Кажется естественным спросить: какое число идёт дальше?

Угадать его невозможно. Эти значения — первые пять членов так называемой последовательности «занятого бобра». Она связана с одной из самых глубоких и трудных проблем теоретической информатики. Вычисление её членов оказывается настолько сложным, что уже более шестидесяти лет этой задачей занимаются и профессиональные математики, и энтузиасты.

Первые четыре числа были установлены ещё в 1960–1970-х годах. Пятое же, BB(5), оказалось во много раз больше предыдущих и лишь недавно — в прошлом году — было окончательно определено благодаря совместной работе группы любителей-исследователей в онлайн-сообществе Busy Beaver Challenge.

А вот значение шестого числа, BB(6), остаётся неизвестным. Известны лишь нижние границы, и они колоссальны. В 2022 году удалось доказать, что BB(6) настолько велико, что его невозможно даже записать привычным способом: если бы каждую цифру пытаться нанести на атом, атомы Вселенной закончились бы задолго до того, как удалось бы зафиксировать хоть сколько-нибудь значимую часть числа.

Учёный-информатик Скотт Ааронсон (Техасский университет в Остине) подчеркнул: это величина, которую мы не в силах ни вообразить, ни тем более «удержать в руках».

И всё же охотники за «бобрами» продолжают двигать границы. Недавно один из самых активных и загадочных участников конкурса сумел доказать новый, ещё более впечатляющий нижний предел для BB(6) — и менее чем через две недели снова превзошёл собственный рекорд. По сравнению с его результатами оценка 2022 года выглядит микроскопической.

Как заметил информатик Уильям Гасарч (Университет Мэриленда), шестое число буквально возносит нас в мир запредельных величин.

«Ловушка для бобра» связана с одной из самых известных и трудных проблем информатики: можно ли заранее определить, завершит ли программа работу или будет выполняться бесконечно?

Ещё в 1936 году Алан Тьюринг показал, что универсального метода для этого не существует. Это открытие получило название проблемы остановки. Суть в том, что любая процедура, которая сможет корректно решать задачу для одних программ, обязательно окажется бесполезной для других. Есть ситуации, в которых никакой алгоритм не сможет дать ответ.

Чтобы доказать это, Тьюринг ввёл строгую математическую модель вычислений — машину Тьюринга. В этой модели программы описываются как воображаемые устройства, выполняющие пошаговые действия по набору простых правил. Чем больше таких правил у машины, тем богаче её поведение и тем труднее заранее понять, завершится ли её работа или она зациклится навсегда.

А насколько всё усложняется? В 1962 году математик Тибор Радо предложил новый подход — он придумал игру под названием «занятый бобёр».

Правила такие: выбирается число n — это количество правил машины Тьюринга. Нужно найти такую машину с n правилами, которая сделает больше всех шагов, прежде чем остановится. Эта машина и называется «занятым бобром», а соответствующее число, BB(n), — это максимальное количество её шагов.

На первый взгляд задача кажется простой. Нужно лишь:

1. Перечислить все возможные машины с n правилами.
2. Смоделировать их работу на компьютере.
3. Отсечь те, что сразу уходят в бесконечные циклы.
4. Для остальных записать, сколько шагов они успели сделать.

Та машина, что проработает дольше всех, и будет «бобром-рекордсменом».

Но на практике всё гораздо сложнее. Количество возможных машин растёт лавинообразно с увеличением числа правил. Проверять каждую вручную бессмысленно, поэтому приходится писать специальные программы, чтобы классифицировать и отбраковывать варианты.

Некоторые машины легко раскусить: они быстро останавливаются или застревают в очевидных циклах. Но есть и такие, что работают очень долго, не проявляя никаких заметных закономерностей. И именно здесь в полную силу проявляется «проклятие проблемы остановки».

Чем больше правил у машины, тем больше вычислительной мощности требуется для анализа. Но простого увеличения мощности недостаточно — некоторые машины работают так долго, что их пошаговое моделирование становится просто невозможным. Чтобы разобраться с ними, нужны специальные математические трюки.

Как отметил инженер-программист и опытный исследователь «бобров» Шон Лигоцки, современные технологии, конечно, помогают, но их возможностей далеко не всегда хватает.

И всё же даже самые мощные компьютеры и самые хитрые алгоритмы оказываются бессильны перед некоторыми машинами Тьюринга. Они работают так долго и так непредсказуемо, что шаг за шагом моделировать их попросту невозможно. Для этого уже нужны не железо и код, а новые математические идеи. Именно здесь охота за «занятым бобром» превращается в настоящее приключение на грани науки и искусства — где числа перестают быть просто числами и становятся вызовом для нашего воображения.

Источник: https://t.me/mathematics_not_for_you.

Математика не для всех.

* * *

Мы привыкли считать, что «гугол» (10^100) - это много. Мы знаем, что количество атомов во всей наблюдаемой Вселенной огромно (примерно (10^80) ).

Но есть Число Грэма (G). И по сравнению с ним гугол - это даже не ноль. Это ничто.

Насколько оно большое?

Вы не можете записать Число Грэма. Даже если бы вы использовали каждый атом во Вселенной как чернила, и на каждом атоме написали бы по цифре... вам не хватило бы места. Вселенная слишком маленькая, чтобы просто записать это число, даже самым мелким шрифтом.

Обычная запись степеней (типа 10^50) здесь не работает - башни из степеней просто смешны для описания масштаба. Математикам пришлось изобрести специальную «стрелочную нотацию Кнута» (↑↑↑), чтобы хоть как-то его обозначить.

Почему оно может вас убить? Звучит как шутка, но есть физическое обоснование того, почему Число Грэма нельзя представить целиком.

Согласно современной физике, информация - это энергия, а энергия эквивалентна массе (E=mc^2). Чтобы запомнить информацию, нейроны вашего мозга должны изменить состояние. Если вы попытаетесь загрузить в голову все десятичные знаки Числа Грэма, плотность информации (энтропия) станет настолько высокой, что ваш мозг сколлапсирует под собственным весом. Буквально: Ваш череп превратится в маленькую черную дыру задолго до того, как вы запомните даже ничтожную долю этого числа.

Зачем оно вообще нужно?

Это не просто бред сумасшедшего ученого. Число Грэма появилось как верхняя граница решения серьезной задачи в Теории Рамсея (раздел математики, изучающий порядок в хаосе). Оно отвечает на вопрос о гиперкубах в многомерных пространствах. Ответ находится где-то между 6 и... Числом Грэма.

Итог: Математика - это единственная наука, где можно оперировать объектами, которые физически не могут существовать в нашей реальности, потому что они ее сломают.

Источник. @Pomatematike

Нет - закону исключенного третьего

«Математика — свободное творчество, независимое от опыта; она создаётся из единственной априорной интуиции, которую можно назвать “постоянством в изменении”, или “единством в множественности”».

27 февраля 1881 г. родился Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр — голландский философ и математик, работавший в таких областях математики, как топология, теория множеств, математическая логика, теория меры и комплексный анализ.

Брауэр положил начало новому направлению в математике — интуиционизму. В теории множеств, на основании которой хотелось бы построить математику, в начале XX в. обнаружились всякие парадоксы и противоречия. Чтобы выйти из кризиса, математики пробовали идти разными путями, и один из них — интуиционизм.

Брауэр подверг сомнению неограниченную приложимость в математических рассуждениях классических законов исключённого третьего, (снятия) двойного отрицания, косвенного доказательства (доказательства от противного). Одним из результатов анализа таких рассуждений явилось возникновение интуиционистской логики, сформулированной в 1930 г. учеником Брауэра А. Гейтингом и не содержащей указанных законов.

Интуиционистская логика отличается от классической. Например, в классической логике каждое высказывание либо истинно, либо ложно. А у интуиционистов есть истинные высказывания, ложные и все остальные, пока ещё непроверенные. Если высказывание не является истинным, отсюда ещё не следует, что оно ложно.

Интуиционисты не признают доказательств от противного и вообще всех неконструктивных доказательств, с особой осторожностью работают с бесконечностями. Взять какие-то высказывания, потом манипулировать ими по формальным правилам и делать формальные выводы — занятие не для них. Каждый отдельный вывод должен быть очевиден и ясен индивидуально.

 
Используя термин «ложный» как «противоположность истинного», классическая логика признаёт, что благодаря так называемому закону исключённого третьего каждое утверждение, в частности, утверждение о существовании, либо истинно, либо ложно независимо от того, знает ли кто-либо это на самом деле. Однако, как замечают интуиционисты, закон исключённого третьего действителен только для рассуждений о конечных областях объектов. Язык и логика не способны обеспечить достоверность математических рассуждений в бесконечной области. Закон исключённого третьего, истинный в любой сколь угодно большой конечной области, бесполезен в бесконечной. Поэтому ни сведение математики к логике, ни аксиоматизация математических теорий не годятся для её обоснования. Бесплодие этих проектов объясняется просто — они не способны создавать математические объекты, истинные в бесконечных областях.

Интуиционистское исчисление высказываний строил, в частности, А.Н. Колмогоров. Его ученик Пер Мартин-Лёф создал интуиционистскую теорию типов. Его подход использовал В.А. Воеводский для создания гомотопической теории типов. Он ввёл аксиому унивалентности и довёл свои идеи до этапа практических применений.

 
Математики продолжают работать над основаниями своей науки. Интуиционизм к настоящему времени ещё до конца не выкристаллизовался, его значение в обосновании математики предстоит узнать в будущем.

Источник

Математика не для всех

Ошибка выжившего - пример из биографии математика Вальда

31 октября 1902 г. родился Абрахам Вальд, венгерский математик и статистик. 

В годы Второй мировой войны он использовал статистические методы для решения проблемы уменьшения потерь американской боевой авиатехники.

Командование американских и британских ВВС ежедневно отправляли сотни бомбардировщиков - бомбить немецкие города, военные заводы, склады оружия и другие объекты. В результате немецкой защиты обратно на базы самолёты союзников возвращались сильно потрёпанные, с многочисленными пробоинами в крыльях и хвостовом оперении от зенитной артиллерии и истребителей. Латать дыры на боевом самолёте — дело довольно сложное и дорогое; поэтому, устав от бесконечного ремонта, инженеры предложили закрыть крылья и оперение дополнительной бронёй. Военное руководство дало своё согласие, но тут вмешался Абрахам Вальд, работавший в те годы в Нью-Йорке.

— Вы делаете глупость! — заявил он. — Вы видите многочисленные пробоины в крыльях и на хвосте не потому, что туда чаще попадают снаряды немецких пушек! А потому, что те самолёты, которым снаряды попали в другие части, например, в двигатель или топливный бак, вообще не вернулись, они были сбиты, их пилоты погибли или попали в плен! Если самолёту попали в крыло, он может вернуться на базу — вот он, стоит здесь, живое тому свидетельство. А вот при попадании в бак или двигатель самолёт уже не возвращается, потому-то мы таких пробоин и не видим! Так что закрывать дополнительной бронёй нужно не те места, где много пробоин. А наоборот — те места, где их нет!

Этот исторический случай стал хрестоматийным примером ошибки выжившего.

Этюды из математики

Любопытное открытие, сделанное в 1996 году исследователями Дэвидом Бэйли, Питером Боруэйном и Саймоном Плаффом. Им удалось найти довольно простую формулу — сумму бесконечного ряда членов, — с помощью которой можно вычислить любой знак числа пи, не зная ни одного предыдущего знака.

Строго говоря, вычисляемые по формуле Бэйли — Боруэйна — Плаффа знаки не десятичные, а шестнадцатеричные, то есть представлены по основанию 16.)\

На первый взгляд это кажется невозможным, да и для других математиков стало полным сюрпризом. Но еще больше поражает другое: для того чтобы вычислить с помощью этого метода, к примеру, миллиардный знак числа пи, достаточно обычного ноутбука и совсем немного времени — меньше, чем на обед в ресторане. Разные варианты формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа могут использоваться для поиска других “иррациональных” чисел, подобных пи, с десятичными знаками, что убегают вдаль бесконечной цепочкой, нигде не повторяясь.

Все, что нам осталось, — это вероятность, да и с той нет полной ясности. Существует несколько интерпретаций. Самое распространенное толкование — частотное.

Говоря о вероятности какого-либо события, “фреквентисты” имеют в виду шансы его наступления при многократном повторении одного и того же эксперимента. Но бывают случаи, когда такая стратегия бесполезна, например когда речь идет о событии, которое может произойти только один раз. Альтернативой тогда служит байесовский метод, названный так в честь английского ученого-статистика XVIII века Томаса Байеса. Расчет вероятности этим методом основан на степени нашей уверенности в определенном результате, то есть вероятность рассматривается как субъективное понятие.

Особенно интересно различия между байесовским и частотным подходами проявляются, когда их применяют к математическим понятиям. К примеру, спросим себя, является ли септиллионным знаком числа пи (на сегодня неизвестным) пятерка? Заранее знать ответ невозможно, но после того, как он будет вычислен, он уже никогда не изменится: сколько ни повторяй расчет числа пи, ответ будет всегда один и тот же. 

Если следовать частотной интерпретации, вероятность того, что септиллионный знак будет пятеркой, равна либо 1 (достоверное событие), либо 0 (невозможное) — другими словами, это или пятерка, или нет. Допустим, доказано, что число пи нормально, то есть мы точно знаем, что в составляющей его бесконечной цепочке знаков каждая из десяти цифр имеет одинаковую плотность распределения. Согласно байесовской интерпретации, отражающей нашу степень уверенности в том, что септиллионным знаком является именно пятерка, вероятность этого — 0,1 (ведь если число пи нормально, то любой его знак, пока он не вычислен, может с одинаковой вероятностью быть любой цифрой от 0 до 9). Но вот после того, как мы этот знак вычислим (если такое когда-нибудь произойдет), вероятность уже точно будет либо 1, либо 0. Фактическое значение септиллионного знака пи нисколько не поменяется, но вероятность того, что это пятерка, изменится — именно потому, что у нас будет больше информации. 

Информация играет определяющую роль в байесовском подходе: по мере повышения собственной информированности мы можем корректировать значение вероятности, делая его точнее. А при наличии полной информации (скажем, когда определенный знак числа пи вычислен) значения частотной и байесовской вероятности становятся одинаковыми — если мы возьмемся заново рассчитать уже вычисленный знак пи, ответ нам будет известен заранее. Зная все нюансы физической системы (в том числе некоторый элемент случайности, как, например, при распаде атомов радия), мы можем в точности повторить эксперимент и получить частотную вероятность, идеально совпадающую с байесовской.

И хотя байесовский подход кажется субъективным, он может быть строгим в абстрактном смысле. Предположим, у вас есть несимметричная монета: вероятность выпадения орла при ее подбрасывании может равняться какому угодно значению от 0 до 100 %, причем любое из них равновозможно. Бросаем ее первый раз — выпадает орел. Используя байесовскую интерпретацию, можно доказать, что вероятность выпадения орла при втором броске составляет ⅔. Но ведь начальная вероятность выпадения орла была ½, а монету мы не меняли. Байесовский подход позволяет рассуждать так: выпадение первого орла, конечно, не влияет напрямую на вероятность его выпадения при втором броске, но этот факт дает нам дополнительную информацию о монете, а с помощью этой информации мы уточняем свою оценку. Если монета сильно несимметрична в пользу решки, вероятность выпадения орла очень мала, а если сильно несимметрична в пользу орла, то вероятность его выпадения гораздо выше.

Байесовский подход также помогает избежать парадокса, впервые сформулированного в 1940-х годах немецким ученым-логиком Карлом Гемпелем. Когда люди видят, что один и тот же принцип (скажем, закон гравитации) исправно действует в течение долгого времени, они склонны делать вывод, что он с очень высокой вероятностью верен. Это так называемое индуктивное умозаключение, которое можно коротко сформулировать так: если наблюдаемое соответствует теории, то вероятность того, что эта теория верна, увеличивается. С помощью описанного им парадокса воронов Гемпель продемонстрировал, в чем слабое место индуктивной логики.

В своем рассказе “Вавилонская библиотека” аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес рассказывает о библиотеке огромного, возможно бесконечного, размера с невообразимым количеством книг. 

Все книги имеют одинаковый формат: “в каждой книге четыреста страниц, на каждой странице сорок строчек, в каждой строке около восьмидесяти букв черного цвета”. Все тексты написаны на экзотическом языке, использующем только 22 буквенных символа, запятую, точку и пробел, но в книгах на полках библиотеки можно обнаружить все возможные комбинации этих знаков. Большинство книг содержат лишь бессмысленный набор букв; в других сочетания упорядоченны, но все равно лишены какого-либо смысла. Например, одна из книг целиком состоит из повторяющейся буквы M. В другой – все то же самое, кроме второй буквы, вместо которой стоит N. Есть книги со словами, предложениями и целыми абзацами, построенными по правилам грамматики того или иного языка, но абсолютно нелогичными. Есть исторические труды. Есть такие, в которых утверждается, что они содержат подлинную историю, но на деле они являются вымыслом. В некоторых даны описания еще не изобретенных машин и не сделанных открытий. Где-то на полках есть книга, содержащая все сочетания используемых 25 знаков, которые только можно себе представить или записать. И однако же все это гигантское хранилище книг совершенно бесполезно, поскольку, не зная заранее, что правда, а что ложь, что истина, а что вымысел, какая информация значима, а какая бессмысленна, невозможно извлечь из этого всеобъемлющего собрания символов никакой пользы. 

То же касается и старой идеи о том, что армия обезьян, беспорядочно стучащих по клавишам пишущих машинок, способна в конце концов произвести на свет собрание сочинений Шекспира. Они напечатают и решения всех научных проблем современности (хоть на это и потребуются триллионы лет). Проблема лишь в том, что они также напечатают и все неправильные решения, а вместе с ними убедительные опровержения всех правильных решений – и все это не считая умопомрачительных объемов абсолютной белиберды. Нет никакого смысла иметь перед глазами ответ на вопрос, если в одну кучу с ним свалены все возможные комбинации символов, из которых он состоит, а вы не имеете представления, какая из них верная.

В каком-то смысле интернет с его громадным объемом полезной информации, затерянной в многократно превышающем его объеме сплетен, полуправды и полной галиматьи, становится все более похожим на библиотеку Борхеса – вместилище всего на свете от глубокого научного знания до совершеннейшего бреда. Есть даже сайты, имитирующие Вавилонскую библиотеку: за долю секунды они выдают полотно случайных цепочек из букв, где иногда могут содержаться реально существующие слова или даже осмысленные обрывки информации. Когда у нас под рукой такой объем информации, кому или чему можно доверить роль третейского судьи, объективно оценивающего, что подлинно и достоверно? В конечном итоге, поскольку информация существует в виде наборов цифр, хранящихся в недрах электронных процессоров и носителей данных, ответ должен лежать где-то в области математики.

Цитировался: Агниджо Банерджи, Дэвид Дарлинг. Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним.

ИИ, и в частности LLM значительно лучше порождает множество текстов нежели орда обезьян, стучащих по клавиатурам, но тем не менее он безразличен к тому, что мы называем правдой или научной истиной.

Термины “доказательство” и “истина”

Современные ученые вообще обходятся довольно скромными формулировками и предпочитают не употреблять термины “доказательство” и “истина” в некоем абсолютном смысле. Естественные науки – это в основном наблюдения, выстраивание теорий, наиболее логично объясняющих результаты наблюдений, и последующая проверка теорий дальнейшими наблюдениями и экспериментами. Научные теории носят предварительный характер: это лишь лучший для своего времени способ с помощью доступной информации объяснить, как функционирует окружающий нас мир. Всего одного нового подтвержденного факта, не укладывающегося в теорию, достаточно, чтобы разбить ее в пух и прах. Возьмите хоть гравитацию. Аристотель был убежден, что тяжелые предметы падают с большей скоростью, чем легкие, – ведь если одновременно сбросить с высоты камень и перышко, камень приземлится гораздо быстрее. Потребовалось немало хитроумных экспериментов и почти две тысячи лет, чтобы доказать неправоту Аристотеля.

Естественно-научную теорию можно опровергнуть или по крайней мере показать, что она не точна, – но вот доказать, что она всегда, при любых обстоятельствах верна, невозможно. Будущие открытия, о которых мы сегодня ничего не знаем, могут даже от самой стройной и убедительной теории не оставить камня на камне. С математикой же все иначе.

Доказательство – основа всей математической науки.

Математическую теорию возможно доказать так, чтоб не оставить и тени сомнения в ее правильности, и, будучи доказанной, она уже не изменится. К примеру, теорема Пифагора о сторонах прямоугольного треугольника доказана достоверно: просто немыслимо, что кто-нибудь когда-нибудь ее опровергнет (с оговорками, которые мы обсудим через минуту). Из всех областей знания есть всего две науки – математика и ее близкая родственница логика, – где возможна определенность, не допускающая никаких сомнений.

В 1928 году немецкий математик Давид Гильберт, известный своим обыкновением ставить перед коллегами вопросы, на которые не было готового ответа, сформулировал задачу, названную им Entscheidungsproblem, или “проблемой разрешимости”. В задаче спрашивалось: всегда ли можно найти поэтапную процедуру, позволяющую за конечный промежуток времени определить, является математическое утверждение истинным или ложным? Гильберт надеялся на положительный ответ, но не прошло и десяти лет, как эта надежда рухнула.

В 1931 году, за несколько лет до отъезда Гёделя из Австрии и начала работы в Институте перспективных исследований в Принстоне, где он подружился с Альбертом Эйнштейном, им были опубликованы две сенсационные, шокирующие теоремы – первая и вторая теоремы о неполноте. Если в двух словах, первая из них гласит, что любая математическая система, достаточно сложная, чтобы включать в себя обычную – школьную – арифметику, не может быть одновременно и полной, и непротиворечивой. Полная система – это такая, в которой все, что в нее входит, можно доказать или опровергнуть. Непротиворечивая – значит не содержащая таких утверждений, которые могут быть одновременно и доказаны, и опровергнуты. Как гром среди ясного неба, теоремы Гёделя о неполноте показывали, что в любой математической системе (за исключением самых простых) всегда найдутся утверждения истинные, но недоказуемые. Теоремы о неполноте в каком-то смысле аналогичны принципу неопределенности в физике, поскольку также указывают на существование фундаментального предела познания. И, как и принцип неопределенности, они раздражают и подавляют нас, дразня тем, что реальность – в том числе чисто интеллектуальная – самим своим поведением препятствует полному познанию того, что мы пытаемся постичь разумом. Грубо говоря, они показывают, что истина сильнее доказательства – а это ненавистно, особенно для математика.

Математики все еще расходятся во мнениях относительно второй проблемы Гильберта: возможно ли доказать, что арифметика непротиворечива? 

Одни разделяют вывод Гёделя и считают, что это невозможно в принципе, другие склоняются к точке зрения Генцена, предложившего частичное доказательство. 

Как бы то ни было, этот вопрос не затрагивает сути теорем Гёделя: что в рамках любой математической системы (такой, например, как арифметика Пеано или ZFC) возможно сформулировать неразрешимые утверждения. Можно, конечно, судить об истинности или ложности таких утверждений, используя средства другой системы (как это сделал Генцен, усилив простую арифметику ординалами), но мы все равно не будем знать, является ли эта другая система непротиворечивой. Нам остается только принять ее за таковую.

Еще одно применение теорем Геделя.

Гёдель показал, что в любой логически непротиворечивой системе аксиом, которая достаточно велика, чтобы включать в себя все правила арифметики, существуют истинные утверждения, чью истинность невозможно доказать средствами самой этой системы. Вывод, получивший название теорем Гёделя о неполноте, означал, что всегда будут существовать математические истины, которые невозможно доказать. Открытие стало потрясением для многих ученых, но оно еще не ставило крест на вопросе разрешимости математических утверждений, или, другими словами, на возможности найти алгоритм (последовательность шагов), способный гарантированно определить, является ли утверждение доказуемым, а если является – истинно оно или ложно. Крест на этом вопросе будет поставлен несколько позже, во многом благодаря молодому англичанину Алану Тьюрингу, который помог вынести окончательный вердикт по Entscheidungsproblem.

Тьюринг хотел знать, существует ли общий алгоритм, способный для любых входных данных определить, остановится машина или нет. Эта задача получила название “проблема остановки", и Тьюринг доказал, что такого алгоритма не существует. Далее, в заключительной части своей статьи, он показал, что отсюда следует вывод о неразрешимости Entscheidungsproblem. А это значит, что мы можем быть абсолютно уверены: никакая самая совершенная компьютерная программа не сумеет – во всех случаях – определить, завершит ли когда-нибудь свою работу какая-либо иная программа.

За месяц до выхода исторической статьи Тьюринга американский ученый-логик Алонзо Чёрч, его научный руководитель, независимо опубликовал собственную статью, в которой делал тот же вывод, но для доказательства использовал совершенно другой метод – лямбда-исчисление”.

Цитировался: Агниджо Банерджи, Дэвид Дарлинг. Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним.

Математика листа А4

Система стандартных бумажных форматов ISO 216 представляет собой не просто удобный каталог размеров, но продуманное математическое решение. Интересно, что ещё в 1923 г. на  советском свидетельстве о рождении, в углу документа уже стояла пометка о формате A5 и размерах 210×148 мм.

Исторически эта идея была предложена в 1786 г. немецким учёным Георгом Кристофом Лихтенбергом и впервые начала применяться во Франции в конце XVIII в. Сейчас она распространена по всему миру, за исключением США и Канады, где используют формат Letter с соотношением сторон 8,5×11 дюймов (примерно 216×279 мм). Такой лист немного шире и короче привычного нам А4. В отличие от научного подхода, лежащего в основе формата А4, размер US Letter был обусловлен производственными процессами и сложившейся практикой — США не перешли на метрическую систему мер, что позволило сохранить традиционные дюймовые размеры.

Основная идея метрического формата ISO 216 заключается в том, чтобы при сложении листа пополам получались два меньших листа с одинаковыми пропорциями. Это условие описывается функциональным уравнением: 

если исходный лист имеет стороны a и b (где a — длинная сторона), то после сгиба получается лист со сторонами b и a/2. Условие сохранения пропорций приводит к уравнению a/b = b/(a/2), которое упрощается до a² = 2b², откуда получается соотношение a/b = √2. Это число является неподвижной точкой данного преобразования — единственной пропорцией, обладающей свойством самоподобия.

Существует несколько способов построения иерархии таких форматов. Серия A основана на конструктивном принципе: лист A0 имеет площадь 1 м² при сохранении пропорции √2. Решение системы уравнений для площади и пропорции даёт точные размеры A0: 2⁻¹ᐟ⁴ × 2¹ᐟ⁴ метров. Все последующие форматы получаются последовательным делением пополам с сохранением той же пропорции.

Серия B строится на другом принципе — среднего геометрического. Каждый формат Bn является средним геометрическим между An и A(n–1). Например, B1 = √(A0 × A1). Этот подход создает плавную шкалу промежуточных размеров.

Серия C, используемая для конвертов, идёт ещё дальше: каждый её формат представляет собой среднее геометрическое между соответствующими форматами A и B. Именно поэтому лист A4 идеально помещается в конверт C4 — математическое соотношение гарантирует оптимальный зазор.

С точки зрения алгебраической структуры, идеальные размеры форматов принадлежат полю ℚ (√2) — полю рациональных чисел с добавленным корнем из двух. Каждый размер можно выразить как линейную комбинацию 1 и √2 с рациональными коэффициентами. На практике используются целочисленные приближения этих идеальных размеров, подобранные так, что погрешность пропорции не превышает 0,01%.

Эту идею можно обобщить на многомерный случай. Например, «идеальный» ящик, который при разрезании пополам даёт два подобных исходному, в трёхмерном случае будет иметь соотношение ребер 1 : ∛2 : ∛4. В n-мерном пространстве гиперпрямоугольник с таким свойством самоподобия будет иметь рёбра с соотношениями, представляющими собой степени двойки с показателями k/n, где k = 0, 1, ..., n–1. Таким образом, пропорция листа бумаги оказывается частным случаем более общего математического принципа.

Вот так обычный лист бумаги, который мы достаём из принтера, демонстрирует практическое применение математических принципов — от функциональных уравнений и конструктивных построений до алгебраических структур и многомерных обобщений.

Источник: https://t.me/mathematics_not_for_you.

Математика не для всех.

О невычислимой функции

Что такое невычислимая функция и как она говорит нам о границах познания?

Интуитивно хочется верить, что любую функцию можно запрограммировать — дать ей вход, дождаться ответа. Но в реальности существует класс функций, которые нельзя вычислить никаким алгоритмом. Вообще. Даже если дать бесконечно много времени.

Типичный пример — функция Busy Beaver, но она растёт столь стремительно, что кажется далёкой от жизни. Гораздо интереснее функция, поведение которой можно себе представить — медленно растущая и при этом невычислимая. Её мы и разберём.

Представим: дана задача — напечатать число n. Самый примитивный способ — print(n). Но если число огромное, можно схитрить, использовать циклы или свойства числа. Например:

print(1);
for i := 1 to 1000000 do print(0)

Эта программа короче, чем если бы мы вручную вписали миллион нулей. Получается, одно и то же число можно напечатать программами разной длины.

Возникает естественный вопрос: какая самая короткая программа, которая печатает заданное число n? Обозначим длину этой программы через f(n).

И вот ключ: функция f(n) — невычислима. То есть невозможно написать программу, которая по числу n вычислит f(n).

Почему?

Допустим, мы смогли бы её вычислить. Тогда можно написать программу, которая находит наименьшее число, которое нельзя напечатать программой короче m символов. Такая программа существует — ведь программ ограниченной длины конечное количество, а чисел бесконечно много.

Теперь добавим к этой программе ещё немного кода — скажем, 100 символов — и попросим её напечатать g(K+100) — то самое "непечатаемое" число. Программа длиной меньше K+100 напечатала число, которое не должна была уметь напечатать. Противоречие. Значит, наша исходная гипотеза — о вычислимости f(n) — ложна.

Этот аргумент перекликается с парадоксом Берри: "наименьшее число, которое нельзя описать менее чем двадцатью словами" — а ведь сама фраза состоит из меньше чем двадцати слов.

Функция f(n) медленно растёт. Прямое распечатывание числа даёт простой, но не оптимальный вариант. Иногда кто-то найдёт программу, которая делает это короче. Но можем ли мы быть уверены, что нет ещё более короткой? Возможно, какая-то программа длиной в 800 символов уже запущена, мы видим её код, но не знаем, остановится ли она. Если бы мы могли это предсказать — мы бы могли вычислять f(n). Но мы не можем. И в этом — краеугольный камень всей теории алгоритмов.

Из этого следует, что проблема остановки — тоже неразрешима. То есть мы не можем всегда сказать, остановится ли программа или будет работать вечно.

Этот результат говорит не просто о математике. Он говорит о границах, за которые не может пройти даже идеальная машина. Даже если мы точно знаем её алгоритм. Мы можем наблюдать за работой программы, видеть её шаги, понимать логику, но не знать финала.

Это не просто абстракция. Это метафора ограниченности любого интеллекта — человеческого или машинного. Мы можем быть свидетелями текста, но никогда не поймём всех его возможных значений.

Из телеграмма канала "Математика не для всех".

Математическая травма

Математическая травма -- термин становится все более популярным. Особенно активна на модной теме Дженнифер Рюф из Орегонского университета. Вот одна из её статей: https://theconversation.com/think-youre-bad-at-math-you-may-suffer-from-math-trauma-104209


Рюф утверждает: явление не сводится к способностям учеников и эффективности преподавания -- оно носит характер своеобразной психологической травмы, похожей на полученную в детстве или в катастрофе.


Математически травмированный человек испытывает всепоглощающий страх перед формулами и задачами, он впадает в ступор или страшное волнение от одного их вида, панически опасаясь сказать что-то неправильное. Когда-то раньше он попал впросак и с тех пор боится. Ровно так же переживший землетрясение человек пугается, услышав отбойный молоток, и может даже разрыдаться.


Но возникает другой вопрос: а почему не травмируются психологически футбольные болельщики? Они заведомо плохо разбираются в предмете, постоянно ошибаются в оценках и прогнозах, однако не испытывают по этому поводу никаких тревог. Пролетев сегодня с одним прогнозом, они назавтра с таким же жаром будут спорить о другом.


Также никто не отмечает политических или искусствоведческих травм. Разве что встречается психологический барьер при изучении иностранного языка, когда нужно говорить, и тоже возникает страх ошибки. Но все же не такой как перед формулами. Почему так?


Вероятно, дело именно в том, что можно спорить. На это указывают турецкие исследователи в своей работе "Как избежать математической травмы" (http://users.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap132.pdf ) . 

О футболе, литературе или кино можно и нужно спорить, здесь не бывает единого мнения, поэтому люди раскрепощаются и спокойно дискутируют. В языках действуют уже довольно жесткие правила грамматики, хотя некий зазор имеется. В математике же все точно -- ты либо понимаешь формулу или теорему, либо нет; либо ты решил задачу, либо нет. Спорить не о чем. И вот это страшит и порождает комплексы.


Как бороться? Предлагается устраивать мероприятия с введением неоднозначности, когда есть что обсудить. Например, преподавать математику через её историю или рассказы об учёных, через их личную жизнь и преодоление себя. Можно устраивать спектакли и музыкальные шоу. А собственно математика ко всем этим мероприятиям прилагается как бы в нагрузку. Дескать, чтобы понять, почему ученый поступил так, а не иначе, нужно врубиться в ту или иную теорему.

Из книги "Гиперпространство" М.Каку

Великая теория объединения

Поскольку Стандартная модель настолько искусственна, было со смешанным успехом предпринято немало попыток отойти от нее. 

В частности, в конце 1970-х гг. пользовались популярностью теории Великого объединения (Grand Unified Theory — GUT), пытающиеся объединить симметрию сильного, слабого и электромагнитного квантов, включая их в более крупную симметричную группу (например, SU(5), O(10) или Е(6)). Вместо того чтобы примитивным образом сращивать симметричные группы трех взаимодействий, теории Великого объединения исходили из более масштабной симметрии, требующей меньшего количества произвольных констант и допущений. Теории Великого объединения существенно увеличили количество частиц по сравнению со Стандартной моделью, а преимуществом стала замена громоздких групп SU(3) × SU(2) × U(1) единственной симметричной группой. В простейшей из теорий Великого объединения, названной SU(5), применяется 24 поля Янга–Миллса, но по крайней мере все эти поля Янга–Миллса принадлежат одной, а не трем разным симметричным группам.

Эстетическое преимущество теорий Великого объединения в том, что они подводят одну и ту же базу под сильное взаимодействие кварков и под слабое взаимодействие лептонов. Так, в SU(5) мультиплет частиц состоит из трех цветных кварков, электрона и нейтрино. Вращения группы SU(5) переводят эти частицы друг в друга без изменения физической модели их описания.

О теории струн

К сожалению, в настоящее время специалисты по теории струн не в состоянии объяснить, почему выбрано именно десять измерений. Ответ скрыт в глубинах математики, в области так называемых модулярных функций. Оперируя петлевыми диаграммами КСВ, созданными взаимодействующими струнами, мы сталкиваемся со странными модулярными функциями, где число 10 возникает в неожиданных местах.

Эксперимент с сотворением мира

Английский философ XVIII в. Дэвид Юм , известный своим высказыванием, что каждая теория должна строиться на фундаменте эксперимента, так и не сумел объяснить, каким образом можно экспериментально подтвердить креационистскую теорию.

Юм утверждал, что суть эксперимента — в его воспроизводимости. Если эксперимент нельзя повторять снова и снова в разных местах и в разное время и получать одинаковые результаты, значит, теория не внушает доверия. Но как осуществить эксперимент с сотворением мира? Поскольку сотворение по определению невоспроизводимо, Юму пришлось признать, что подтвердить какую бы то ни было теорию сотворения невозможно. И он заявил, что наука может ответить почти на все вопросы, касающиеся Вселенной, кроме единственного — о сотворении, которое нельзя воспроизвести экспериментальным путем.

Последствия применения принципа Оккама

Теория эфира давала удобный ответ на каверзный вопрос: если свет — волна и если свет может распространяться в вакууме, тогда что же такое волнообразные колебания? Ответ состоял в том, что эфир, подобно жидкости, совершает колебания даже в вакууме. Эйнштейн доказал необязательность существования эфира. Однако он никогда не утверждал, что эфира не существует — просто сказал, что он нерелевантен. Таким образом, следуя принципу Оккама, физики больше не обращаются к эфиру.)

Продолжая в том же духе, физики воздерживаются от категорических заявлений о том, что ангелов и чудес не бывает. Возможно, и те и другие есть. Но чудеса почти по определению не повторяются регулярно, следовательно, их нельзя количественно оценить в ходе эксперимента. Значит, в соответствии с принципом Оккама их надо игнорировать (конечно, если мы не найдем воспроизводимое и измеримое чудо или ангела).

О футурологии

Футурология, или предсказание будущего на основании рациональных научных суждений, - рискованная наука.

Кое-кто вообще считает ее не наукой, а чем-то вроде фокусов или колдовства. Футурология заслуженно пользуется этой сомнительной славой: все «научные» опросы о следующем десятилетии, проведенные с участием футурологов, угодили мимо цели. Примитивность футурологии как науки объясняется тем, что нам свойственно мыслить линейно, а знания развиваются экспоненциально. К примеру, опросы футурологов показали, что они берут известные достижения технологии и просто удваивают или утраивают их, предсказывая будущее.
Опросы в 1920-х гг. показали, что футурологи предсказывали: через несколько десятилетий целый флот дирижаблей будет возить пассажиров через Атлантику. Однако наука выбирает неожиданные пути развития.

В краткосрочной перспективе, при экстраполяции на несколько лет, можно с уверенностью предсказывать, что наука будет неуклонно осуществлять количественные усовершенствования существующих технологий. Но при экстраполяции на несколько десятилетий мы видим, что определяющим фактором становятся качественные прорывы в новых сферах и открытие новых отраслей в неожиданных местах.

Вероятно, самый известный промах футурологов - предсказания Джона фон Неймана, отца современного компьютера и одного из самых выдающихся математиков столетия. После войны он сделал два прогноза: согласно первому в будущем компьютеры станут настолько громоздкими и дорогостоящими, что их смогут позволить себе лишь правительства развитых стран; согласно второму — компьютеры смогут точно предсказывать погоду.

Из постороннего источника - для парадоксального.

Чем точнее и полнее ты знаешь свое будущее, тем больше у тебя оснований считать, что ты его уже прожил. Когда исход игры становится ясен, мы утрачиваем к ней интерес и начинаем новую партию. Вот почему многие люди не желают, чтобы им предсказывали судьбу: дело не в том, что, по их мнению, все это предрассудки, и не в том, что они боятся, как бы им не напророчили нечто ужасное. Все просто сводится к тому, что чем более определено наше будущее, тем меньше в нем неожиданностей и тем скучнее в нем жить.

Классификация цивилизаций будущего

Астроном Николай Кардашев классифицировал цивилизации будущего следующим образом:

• Цивилизация I типа контролирует энергетические ресурсы целой планеты. Эта цивилизация способна управлять погодой, предотвращать землетрясения, внедряться в глубины земной коры и пользоваться дарами океанов. Она уже завершила исследование своей солнечной системы.
• Цивилизация II типа контролирует энергию самого Солнца. И это не просто пассивное ее использование: цивилизация данного типа осваивает Солнце. Ее энергетические потребности настолько велики, что мощность Солнца эксплуатируется непосредственно для приведения в действие машин. Эта цивилизация начнет колонизацию местной солнечной системы.
• Цивилизация III типа контролирует энергию всей галактики. Источником энергии ей служат миллиарды звездных систем. Вероятно, представители этой цивилизации уже освоили уравнения Эйнштейна и могут по своему желанию манипулировать пространством-временем.

Нашу цивилизацию, в отличие от перечисленных, можно отнести к нулевому типу, так как она лишь начинает черпать планетарные ресурсы, но не располагает технологическими и другими возможностями, чтобы контролировать их.

Цитата из книги "Конец мира – это только начало":

"Еще "недавно", в 1700 году, вся энергия, используемая людьми, бралась из трех источников: мускулы, вода или ветер. Предыдущие тринадцать тысячелетий человечество пыталось использовать эти три силы в больших объемах и с большей эффективностью, но использование ископаемого топлива всё это изменило".

Споры о сравнительных достоинствах физики и философии

Споры о сравнительных достоинствах физики и философии порой напоминают мне служебную записку одного главы университета, который проанализировал разницу между этими учеными.

Он писал: «И почему же это вам, физикам, всегда требуется так много дорогостоящей аппаратуры? Вон кафедра математики ничего не просит, кроме бумаги, карандашей и мусорных корзин. А кафедра философии еще лучше: ей даже мусорных корзин не нужно»

О Боге ученых

Как я понимаю, проблема в том, что в слово «Бог» люди вкладывают различный смысл, а использование слов, исполненных невысказанного, скрытого символизма, только затуманивает проблему. 

Оказалось, что, для того чтобы хоть как-нибудь прояснить ее, полезно четко разграничивать два типа значений слова «Бог». 

Иногда полезно различать Бога чудес и Бога порядка.

Когда словом «Бог» пользуются ученые, обычно они подразумевают Бога порядка. Можно с уверенностью утверждать, что большинство ученых верит в существование некой формы космического порядка во Вселенной.

Но для человека, не принадлежащего к кругу ученых, слово «Бог» почти наверняка означает Бога чудес, в этом и заключается причина непонимания между учеными и обывателями. Бог чудес вмешивается в наши дела, творит чудеса, разрушает города грешников, громит армии врагов, топит войска фараона, мстит чистым и достославным.

У Бога чудес есть одно огромное преимущество перед Богом порядка. Бог чудес объясняет мифологию нашим предназначением во Вселенной; Бог порядка не дает ответа на этот вопрос.

Литература

Митио Каку: Гиперпространство. Научная одиссея через параллельные миры, дыры во времени и десятое измерение.

Подробнее: https://www.labirint.ru/books/432347/