Скидка и маржинальная прибыль

В [1, 2] приводятся формулы, которые описывают «оправданных» скидкой рост маржинальной прибыли.

Параметрами формулы являются:
• Наценка или норма маржинальной прибыли;
• Скидка.

Примечание.
Маржинальная прибыль есть выручка минус себестоимость.
Наценка есть маржинальная прибыль делить на себестоимость.
Норма маржинальной прибыли есть маржинальная прибыль делить на выручку.

Игра скидками оправдана только в том случае, если прирост продаж существенно превышает размер скидки

В частности, в работе [2] получены формула, связывающая требуемый объем продаж при предоставлении скидки с учетом текущего уровня нормы маржинальной прибыли.

Введем обозначения.
W – выручка,
q – объем (количество) продаж,
p- цена,
Um – норма маржинальной прибыли.
Обозначим индексом «0» старые значения, индексом «1» - новые значения.

Пусть Iw – индекс изменения выручки, так что новое и старое значение выручки связаны формулой:

W1=W0*Iw.

Аналогично введем индексы изменения объемов продаж – Iq, и индекс цен – Ip, так что выполняется

q1=q0*Iq, p1=p0*Ip.

На первый взгляд задача расчета потребного увеличения выручки и объемов продаж решается легко. 

В самом деле, казалось бы достаточно потребовать, чтобы новая выручка была больше старой, то есть W1>W0.
Так как 

W1=q1*p1=W0*Iq*Ip, то Iq>=1/Ip.

Так, если предоставлена скидка 10%, то Ip=0,9 и прирост объемов должен быть чуть больше 11.11%. Уже видно не совпадение значений скидок и прироста объемов продаж.
Но дело выглядит сложнее и после выполнения соответствующих преобразований можно получить следующее неравенство для показателя изменения физического объема продаж: 

Пример. В качестве примера приведем таблицу расчета потребного прироста физического объема продаж при предоставлении скидок. По строкам таблицы указаны скидки, по столбцам таблицы – маржинальная прибыль. В ячейках таблицы указано значение минимально необходимое увеличение физических объемов продаж.

Также можно получить формулу требуемого объема продаж, используя не норму маржинальной прибыли, а наценку. В частности, в [1] приводится подобная формула с небольшим ценным дополнением.
В результате предоставления скидки мы не только хотим сохранить маржинальную прибыль и ее увеличить.
Зададим
М – текущий уровень маржинальной прибыли
dM – нормативный прирост маржи

Тогда требуемая выручка определяется по формуле 

Примечание. Скидка и наценка в формулу подставляются в долях процента.

1. Гурьев Д. Как рассчитать экономическую эффективность скидки. http://www.marketing.spb.ru/lib-mm/pricing/discount_effectiveness.htm
2. Лумпов Н.А. Формула прибыли: учет различных видов деятельности. Финансовый менеджмент, №6, 2005.