Математические модели

 Математика в общем смысле имеет дело с 

1. определением и
2. использованием

символических моделей.

Класс символических математических объектов плюс еще класс абстрактных математических объектов служат основой построения математических моделей, определяющих математические объекты и отношения между ними.

Примечание. Примером абстрактного объекта в отличие от символического может служит понятие типа объекта. Например, тип "целый" в сущности абстрактным, но ему может быть поставлен в соответствие некий символ в пределах некоторого конечного рассуждения.

В физике процессы описываются в терминах операций, - наблюдений и экспериментов, - связывающих физические объекты. То же справедливо, с некоторыми оговорками и в экономике, и в социологии, вообще, в любых операционных науках. Модели применяются везде, так как позволяют выделить "существенные" свойства и ситуации и тем самым упростить описание. Таковы физические, экономические, социологические модели. Но все они опираются на некоторую реальностью, наблюдаемую и измеряемую.

Математические модели работают с символическими и абстрактными объектами и строят математические отношения - гипотетические правила, связывающие математические объекты. Тем самым математическая реальность положена в ее саму и не нуждается в иных референциях, кроме правил, созданные внутри самой математики.

Некоторые математические отношения могут быть описаны с помощью математических операций, связывающих некоторое множество математических объектов, обозначаемых как результат операции, с другим множеством математических объектов, обозначаемых как операнд.

Правила, которые можно использовать для определения отношений и операций составляют набор аксиом. К набору аксиом в свое очередь предъявляется требование непротиворечивости. И этого в принципе достаточно, но ради совершенства, стремятся к тому, чтобы была обеспечена взаимная независимость аксиом.

Аксиоматическая непротиворечивость доказывается путем конструктивного примера, удовлетворяющего определяющим аксиомам. Такое доказательство называется доказательством существования. 

В свою очередь, конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями.

Таким образом, минимальной математической моделью является набор аксиом, аксиоматическая модель плюс правила. И далее посредством конструктивных определения воспроизводится все больше и больше математической моделей.

Как соотнести математическую модель с реальностью, например, с физическими ситуациями? Для этого пытаются определить правила соответствия, связывающие специфические физические объекты и отношения с определенными математическими объектами и отношениями между ними. 

Не все математические модели могут быть соотнесены с реальностью. Например, модели целых и действительных чисел или евклидовая геометрия. Конечно, эти модели были построены на обобщении таких физических процессов, как счет, упорядочение, сравнение и измерение, но уровень абстракции превзошел "физическое описание" природы. Тем не менее, сила абстракции настолько могуча, что позволяет сопоставлять результаты физических измерений с действительными числами.

Продуктивность и эффективность математических моделей весьма хорошо описана в статье Вигнера Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках (март, 1968).

"С одной стороны, невероятная эффективность математики в естественных науках есть нечто граничащее с мистикой, ибо никакого рационального объяснения этому факту нет. С другой стороны, именно эта непостижимая эффективность математики в естественных науках выдвигает вопрос о единственности физических теорий",

"Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеятся, что он не покинет нас в будущих исследованиях и что он будет - хорошо это или плохо - развиваться к нашему большому удовлетворению, а быть может, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира."