Термины “доказательство” и “истина”

Современные ученые вообще обходятся довольно скромными формулировками и предпочитают не употреблять термины “доказательство” и “истина” в некоем абсолютном смысле. Естественные науки – это в основном наблюдения, выстраивание теорий, наиболее логично объясняющих результаты наблюдений, и последующая проверка теорий дальнейшими наблюдениями и экспериментами. Научные теории носят предварительный характер: это лишь лучший для своего времени способ с помощью доступной информации объяснить, как функционирует окружающий нас мир. Всего одного нового подтвержденного факта, не укладывающегося в теорию, достаточно, чтобы разбить ее в пух и прах. Возьмите хоть гравитацию. Аристотель был убежден, что тяжелые предметы падают с большей скоростью, чем легкие, – ведь если одновременно сбросить с высоты камень и перышко, камень приземлится гораздо быстрее. Потребовалось немало хитроумных экспериментов и почти две тысячи лет, чтобы доказать неправоту Аристотеля.

Естественно-научную теорию можно опровергнуть или по крайней мере показать, что она не точна, – но вот доказать, что она всегда, при любых обстоятельствах верна, невозможно. Будущие открытия, о которых мы сегодня ничего не знаем, могут даже от самой стройной и убедительной теории не оставить камня на камне. С математикой же все иначе.

Доказательство – основа всей математической науки.

Математическую теорию возможно доказать так, чтоб не оставить и тени сомнения в ее правильности, и, будучи доказанной, она уже не изменится. К примеру, теорема Пифагора о сторонах прямоугольного треугольника доказана достоверно: просто немыслимо, что кто-нибудь когда-нибудь ее опровергнет (с оговорками, которые мы обсудим через минуту). Из всех областей знания есть всего две науки – математика и ее близкая родственница логика, – где возможна определенность, не допускающая никаких сомнений.

В 1928 году немецкий математик Давид Гильберт, известный своим обыкновением ставить перед коллегами вопросы, на которые не было готового ответа, сформулировал задачу, названную им Entscheidungsproblem, или “проблемой разрешимости”. В задаче спрашивалось: всегда ли можно найти поэтапную процедуру, позволяющую за конечный промежуток времени определить, является математическое утверждение истинным или ложным? Гильберт надеялся на положительный ответ, но не прошло и десяти лет, как эта надежда рухнула.

В 1931 году, за несколько лет до отъезда Гёделя из Австрии и начала работы в Институте перспективных исследований в Принстоне, где он подружился с Альбертом Эйнштейном, им были опубликованы две сенсационные, шокирующие теоремы – первая и вторая теоремы о неполноте. Если в двух словах, первая из них гласит, что любая математическая система, достаточно сложная, чтобы включать в себя обычную – школьную – арифметику, не может быть одновременно и полной, и непротиворечивой. Полная система – это такая, в которой все, что в нее входит, можно доказать или опровергнуть. Непротиворечивая – значит не содержащая таких утверждений, которые могут быть одновременно и доказаны, и опровергнуты. Как гром среди ясного неба, теоремы Гёделя о неполноте показывали, что в любой математической системе (за исключением самых простых) всегда найдутся утверждения истинные, но недоказуемые. Теоремы о неполноте в каком-то смысле аналогичны принципу неопределенности в физике, поскольку также указывают на существование фундаментального предела познания. И, как и принцип неопределенности, они раздражают и подавляют нас, дразня тем, что реальность – в том числе чисто интеллектуальная – самим своим поведением препятствует полному познанию того, что мы пытаемся постичь разумом. Грубо говоря, они показывают, что истина сильнее доказательства – а это ненавистно, особенно для математика.

Математики все еще расходятся во мнениях относительно второй проблемы Гильберта: возможно ли доказать, что арифметика непротиворечива? 

Одни разделяют вывод Гёделя и считают, что это невозможно в принципе, другие склоняются к точке зрения Генцена, предложившего частичное доказательство. 

Как бы то ни было, этот вопрос не затрагивает сути теорем Гёделя: что в рамках любой математической системы (такой, например, как арифметика Пеано или ZFC) возможно сформулировать неразрешимые утверждения. Можно, конечно, судить об истинности или ложности таких утверждений, используя средства другой системы (как это сделал Генцен, усилив простую арифметику ординалами), но мы все равно не будем знать, является ли эта другая система непротиворечивой. Нам остается только принять ее за таковую.

Еще одно применение теорем Геделя.

Гёдель показал, что в любой логически непротиворечивой системе аксиом, которая достаточно велика, чтобы включать в себя все правила арифметики, существуют истинные утверждения, чью истинность невозможно доказать средствами самой этой системы. Вывод, получивший название теорем Гёделя о неполноте, означал, что всегда будут существовать математические истины, которые невозможно доказать. Открытие стало потрясением для многих ученых, но оно еще не ставило крест на вопросе разрешимости математических утверждений, или, другими словами, на возможности найти алгоритм (последовательность шагов), способный гарантированно определить, является ли утверждение доказуемым, а если является – истинно оно или ложно. Крест на этом вопросе будет поставлен несколько позже, во многом благодаря молодому англичанину Алану Тьюрингу, который помог вынести окончательный вердикт по Entscheidungsproblem.

Тьюринг хотел знать, существует ли общий алгоритм, способный для любых входных данных определить, остановится машина или нет. Эта задача получила название “проблема остановки", и Тьюринг доказал, что такого алгоритма не существует. Далее, в заключительной части своей статьи, он показал, что отсюда следует вывод о неразрешимости Entscheidungsproblem. А это значит, что мы можем быть абсолютно уверены: никакая самая совершенная компьютерная программа не сумеет – во всех случаях – определить, завершит ли когда-нибудь свою работу какая-либо иная программа.

За месяц до выхода исторической статьи Тьюринга американский ученый-логик Алонзо Чёрч, его научный руководитель, независимо опубликовал собственную статью, в которой делал тот же вывод, но для доказательства использовал совершенно другой метод – лямбда-исчисление”.

Цитировался: Агниджо Банерджи, Дэвид Дарлинг. Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним.