вторник, 14 ноября 2017 г.

Множественный коэффициент эластичности

Понятие коэффициент эластичности широко используется в эконометрике.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов (в моменте) измениться результат, если фактор (входной параметр) изменится на 1%.

Формула расчета коэффициента эластичности

Э = 100% * dy/dx * x/y

Примечательно, что для показательной функции коэффициент эластичности в точности равен показателю степени.

Формула расчета применима для для функций одного аргумента. Однако, если результат зависит от нескольких факторов, то расчет коэффициент эластичности становится довольно сложным.

В эконометрике, на этом вопросе обычно не заостряют внимание, ограничиваясь введением понятия частного коэффициента эластичности.

Пусть построено регрессионное уравнение:

y = f(x1, x2, ..., xn).

Частный коэффициент эластичности рассчитывается относительно одной, отдельно взятой переменной (отдельно взятого фактора). В этом случае, частный коэффициент эластичности описывает, на сколько процентов изменится результат, если выбранный фактор изменится на 1%, а остальные факторы сохранят прежние значение. Или, как принято говорит в экономике, на сколько процентов изменится результат, если исследуемый фактор изменится на 1% при прочих равных условиях.

Выразим сказанное на языке формул.
Допустим, мы изучаем изменение фактора xi. Но прежде нам нужно выбрать в многомерном пространстве точку, отталкиваясь от которой будет исследовано влияние фактора xi на результат (y). Пусть это будет точка P0 с координатами (x10, x20, ..., xn0).

Тогда частный коэффициент эластичности может быть представлен следующей формулой:

В заметке Коэффициент эластичности приведены модельные функции результата и соответствующие им коэффициента эластичности. Модельные функции могут быть обобщены на многомерный случай. Чтобы не быть голословными, приведем соответствующие примеры.

Многомерная линейная функция может быть записана в следующей форме:

Подобное регрессионное уравнение формируется на самом первом этапе и если данное уравнение удовлетворительно описывается эмпирические данные, то оно и используется на практике. В более "сложных" случаях могут использоваться другие модели. Например, обобщение производственной функции Кобба-Дугласа может быть представлено многомерной степенной функции или линейной функцией от логарифмов факторов. Последняя модель получается в результате логарифмирования многомерной степенной функции.

Наконец, для описания процессов с насыщением может использоваться следующая модель:
Использование частный коэффициентов эластичности может быть полезным для анализа чувствительности каждого фактора в отдельности, но этого недостаточно.
После анализа каждого фактора в отдельности обязательно возникнут следующие вопросы:
  • Чему равен коэффициент эластичности (какова чувствительность) при совокупном изменении факторов?
  • При каком сочетании изменения факторов достигается максимальная эластичность?
Для ответа на первый вопрос необходимо использовать более сложные математические конструкции - производную по направлению (ответ на первый вопрос) и градиент (ответ на второй вопрос).

Для описания "направления" изменения введем вектор изменения - (Δx1, Δx2, ..., Δxn), описывающий изменение (увеличение или уменьшение) факторов xi в точке P0 с координатами (x10, x20, ..., xn0).

Направление, которое обозначим - l, описывается направляющими косинусами, которые описываются формулой:


Здесь αi - косинус вектора x=(x1, x2, ..., xn) с осью Oxi .

Производная функции y по направлению l описывается следующей формулой:

Теперь можно определить коэффициент эластичности по направлению l:

Ответ на второй вопрос
  • При каком сочетании изменения факторов достигается максимальная эластичность?
прост.

Максимум достигается в направлении градиента, при этом вектор градиента определяется как
Таким образом, мы сумели определить формулы расчета коэффициента эластичности для многомерных моделей результата.



Комментариев нет:

Отправить комментарий