Коэффициент эластичности

Понятие коэффициент эластичности широко используется в эконометрике.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов (в моменте) измениться результат, если фактор (входной параметр) изменится на 1%.

Формула расчета коэффициента эластичности

Э = 100% * dy/dx * x/y

Примечательно, что для показательной функции коэффициент эластичности в точности равен показателю степени, то есть

Если результат описывается функцией y=a * x^b, то коэффициент эластичности: Э=b.

Каков же будет результат для других функций?

Рассмотрим следующие функции:

1. y = a  + b * x - линейная функция.
2. y = a  + b * x + c * x² - парабола.
3. y = a  + b / x - гипербола.
4. y = a * b^x - показательная функция.
5. y = a  + b * ln(x) - линейная-логарифмическая функция.
6. y = 1 / (1 + b * e^-(c*x) - логистическая функция.
7. y = 1 / (a + b * x) - обратная функция.

Допустим, данные функции описывают рост доходов.

Формулы коэффициентов эластичности:

1. Э1 = b * x / (a  + b * x) - коэффициент эластичности линейной функции.
2. y = (b * x + 2 * c * x²) / (a  + b * x + c * x²)- коэффициент эластичности параболы.
3. y = - b / (a * x + b) - коэффициент эластичности гиперболы.
4. y = x * ln(x) - коэффициент эластичности показательной функции.
5. y = b / (a  + b * ln(x)) - коэффициент эластичности линейная-логарифмической функции.
6. y = c * x / (1 + e^c*x / b) - коэффициент эластичности логистической функции.
7. y = - b * x / (a + b * x) - коэффициент эластичности обратной функции.

Линейная функция

Рассмотрим линейную функцию. Для этого построим графики трех различных линейных функций:

Скрипт R:

dy <- c(1,5)
a <- 1
b1 <- 1
curve(a + b1 * x, 0, 2, 100, ylim = dy, ylab = 'Y')
title('Линейные функции роста')
text(1.75,3,"y=1+x")
b2 <- 1.5
curve(a + b2*x, 0, 2, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(1.75,4,"y=1+1.5*x")
b3 <- 2
curve(a + b3*x, 0, 2, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(1.75,5,"y=1+2*x")

Им отвечают следующие коэффициенты эластичности:

Скрипт R:

dy1 <- c(0,80)
curve(100 * b1*x / (a+b1*x), 0, 2, 100, col='red', lwd =2, 
      ylim = dy1, ylab = 'Э' )
title('Коэффициент эластичности')
text(1.75,67,"y=1+x",col='red')
curve(100 * b2*x / (a+b2*x), 0, 2, 100, col='red', lwd =2, 
      add= TRUE, ylim = dy1 )
text(1.75,75,"y=1+1.5*x",col='red')
curve(100 * b3*x / (a+b3*x), 0, 2, 100, col='red', lwd =2, 
      add= TRUE, ylim = dy1 )
text(1,75,"y=1+2*x",col='red')

Заметим, что эластичность линейной функции по мере роста убывает. Это может служить источником "обратной манипуляции" - хотя доходы в абсолютной величине растут, тем не менее в процентном отношении они падают. Что могут вменить успешным, чтобы скрыть или умалить заслуги менеджеров.

Парабола

Графики "параболических" доходов:

Скрипт R:

a <- 1
b1 <- 1
c1 <- -0.5
curve(a + b1*x + c1 * x * x, 0, 2, 100, ylim= dy, ylab = 'Y')
title('Парабола')
text(1,1.3,"y=1+x-0,5*x*x")
c2 <- 0.4
curve(a + b1*x + c2 * x * x, 0, 2, 100, ylim=dy,add= TRUE)
text(1.6,2.8,"y=1+x+0,4*x*x")
c3 <- 1.5
curve(a + b1*x + c3 * x * x, 0, 2, 100, ylim=dy,add= TRUE)
text(0.8,4,"y=1+x+1,5*x*x")
c4 <- -0.3
curve(a + b1*x + c4 * x * x, 0, 2, 100, ylim=dy,add= TRUE)
text(1.4,2,"y=1+x-0,3*x*x")

Коэффициенты эластичности парабол:

Скрипт R:

dy1 <- c(-100,150)
a <- 1
b1 <- 1
c1 <- -0.5
curve( 100 * (b1 + 2 * c1 * x) / (a+b1*x+c1*x*x), 0, 2, 100, 
       col='red', lwd =2, ylim = dy1, ylab = 'Y')
title('Коэффициент эластичности')
text(1.6,-91,"y=1+x-0,5*x*x")
curve( 100 * (b1 + 2 * c2 * x) / (a+b1*x+c2*x*x), 0, 2, 100, 
       add = TRUE, col='red', lwd =2, ylim = dy1)
text(1.6,50,"y=1+x+0,4*x*x")
curve( 100 * (b1 + 2 * c3 * x) / (a+b1*x+c3*x*x), 0, 2, 100, 
       add = TRUE, col='red', lwd =2, ylim = dy1)
text(1.6,110,"y=1+x+1,5*x*x")
c4 <- -0.3
curve( 100 * (b1 + 2 * c4 * x) / (a+b1*x+c4*x*x), 0, 2, 100, 
       add = TRUE, col='red', lwd =2, ylim = dy1)
text(1.6,20,"y=1+x-0,3*x*x")

Гипербола

Графики гиперболических доходов могут применяться для аппроксимации тенденций с насыщением:

Скрипт R:

dy <- c(2,6)
a <- 6
b1 <- -2
curve(a + b1 / x, 0.5, 2.5, 100, ylab = 'Y', ylim = dy)
title('Гипербола')
text(1.5,4.5,"y=6-2/x")
b2 <- -1.5
curve(a + b2 / x, 0.5, 2.5, 100, ylab = 'Y', ylim = dy, add = TRUE)
text(1,4.5,"y=6-1.5/x")
b3 <- -1
curve(a + b3 / x, 0.5, 2.5, 100, ylab = 'Y', ylim = dy, add = TRUE)
text(1,5.25,"y=6-1/x")

Коэффициенты эластичности гипербол:

Скрипт R:

dy <- c(0,100)
b1 <- -2
curve(-b1 *100 / (a*x+b1), 0.4, 2, 100, col='red', lwd =2, ylim = dy)
title('Коэффициент эластичности')
text(1.6,35,"y=6-2/x")
b2 <- -1.5
curve(-b2 *100 / (a*x+b2), 0.4, 2, 100, col='red', lwd =2, 
      ylim = dy, add = TRUE)
text(1.1,35,"y=6-1.5/x")
b3 <- -1
curve(-b3 *100 / (a*x+b3), 0.4, 2, 100, col='red', lwd =2, 
      ylim = dy, add = TRUE)
text(0.5,35,"y=6-1/x")

Показательная функция доходов

Графики функций:

Скрипт R:

dy <- c(1,4)
a <- 1
b1 <- 2
curve(a * b1 ^ x, 0, 2, 100, ylab = 'Y', ylim = dy)
title('Показательная функция')
text(1.5,1.1,"y=2^x")
b2 <- 1.5
curve(a * b2 ^ x, 0, 2, 100, ylab = 'Y', ylim = dy, add = TRUE)
text(1.5,1.57,"y=1.5^x")
b3 <- 1.2
curve(a * b3 ^ x, 0, 2, 100, ylab = 'Y', ylim = dy, add = TRUE)
text(1.5,2.4,"y=1.2^x")

Коэффициенты эластичности показательной функции:

Скрипт R:

a <- 1
b1 <- 2
curve(100 * x * log(b1), 0, 2, 100, ylab = 'Y')
title('Коэффициент эластичности')
text(1.5,90,"y=2^x")
b2 <- 1.5
curve(100 * x * log(b2), 0, 2, 100, ylab = 'Y', add = TRUE)
text(1.5,50,"y=1.5^x")
b3 <- 1.2
curve(100 * x * log(b3), 0, 2, 100, ylab = 'Y', add = TRUE)
text(1.5,15,"y=1.2^x")

Линейная-логарифмическая функция

Графики функций:

Скрипт R:

dy <- c(1,4)
a <- 1
b1 <- 1
curve(a + b1 * log(x), 1, 4, 100, ylab = 'Y', ylim= dy)
title('Линейно-логарифмические функции роста')
text(3.5,2.4,"y=1+ln(x)")
b2 <- 1.5
curve(a + b2*log(x), 1, 4, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(3.5,3.15,"y=1+1.5*ln(x)")
b3 <- 2
curve(a + b3*log(x), 1, 4, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(3.5,3.8,"y=1+2*ln(x)")

Коэффициенты эластичности линейно-логарифмической функции:

Скрипт R:

dy1 <- c(40,150)
curve(100 * b1 / (a+b1*log(x)), 1, 4, 100, col='red', lwd =2, 
       ylab = 'Э', ylim = dy1 )
title('Коэффициент эластичности')
text(1.75,55,"y=1+ln(x)",col='red')
b2 <- 1.5
curve(100 * b2 / (a+b2*log(x)), 1, 4, 100, col='red', lwd =2, 
      add= TRUE, ylim = dy1 )
text(3,55,"y=1+1.5*ln(x)",col='red')
b3 <- 2
curve(100 * b3 / (a+b3*log(x)), 1, 4, 100, col='red', lwd =2, 
      add= TRUE, ylim = dy1 )
text(2.7,80,"y=1+2*ln(x)",col='red')

Логистическая функция роста

Графики функций:

Скрипт R:

c1 <- 0.7
curve(1 / (1 + b1 * exp(- c1 * x)), 0, 10, 100, ylab = 'Y',ylim= dy)
title('Логистическая функция роста')
text(2,0.97,"y=1/(1+exp(-0.7*x))")
b2 <- 15
c2 <- 1
curve(1 / (1 + b2 * exp(- c2 * x)), 0, 10, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(3.5,0.73,"y=1/(1+15*exp(-x))")
b3 <- 75
c3 <- 0.8
curve(1 / (1 + b3 * exp(- c3 * x)), 0, 10, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(8,0.5,"y=1/(1+75*exp(-0.8*x))")

Графики функций:

Скрипт R:

b1 <- 1
c1 <- 0.7
curve(100 * c1 * x / (exp(c1 * x) / b1 + 1), 0, 10, 100, 
      col='red', lwd =2, ylab = 'Э', ylim = dy1 )
title('Коэффициент эластичности')
text(2.3,5,"y=1/(1+exp(-0.7*x))",col='red')
b2 <- 15
c2 <- 1
curve(100 * c2 * x / (exp(c2 * x) / b2 + 1), 0, 10, 100,
      col='red', lwd =2, 
      add= TRUE, ylim = dy1 )
text(4.75,140,"y=1/(1+15*exp(-x))",col='red')
b3 <- 75
c3 <- 0.8
curve(100 * c3 * x / (exp(c3 * x) / b3 + 1), 0, 10, 100, 
      col='red', lwd =2, 
      add= TRUE, ylim = dy1 )
text(7.7,230,"y=1/(1+75*exp(-0.8*x))",col='red')

Обратная функция - тенденция падения

Графики функций:

Скрипт R:

dy <- c(0,1)
a <- 1
b1 <- 0.2
curve(1 / (a + b1 * x), 0, 4, 100, ylab = 'Y',ylim= dy)
title('Обратная функция - тенденция падения')
text(3,0.7,"y=1/(1+0,2*x)")
b2 <- 0.8
curve(1 / (a + b2 * x), 0, 7, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(3,0.37,"y=1/(1+0,8*x)")
b3 <- 2
curve(1 / (a + b3 * x), 0, 7, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(3,0.1,"y=1/(1+2*x)")

Графики функций:

Скрипт R:

dy <- c(-90,0)
a <- 1
b1 <- 0.2
curve(100 * (-b1 * x) / (a + b1 * x), 0, 4, 100, ylab = 'Y', ylim= dy)
title('Коэффициент эластичности')
text(3,-30,"y=1/(1+0,2*x)")
b2 <- 0.8
curve(100 * (-b2 * x) / (a + b2 * x), 0, 7, 100, ylab = 'Y', add=TRUE, ylim= dy)
text(3,-62,"y=1/(1+0,8*x)")
b3 <- 2
curve(100 * (-b3 * x) / (a + b3 * x), 0, 7, 100, ylab = 'Y', add=TRUE, ylim= dy)
text(3,-80,"y=1/(1+2*x)")

Обратная функция - тенденция роста

Графики функций:

Скрипт R:

dy <- c(1,2.5)
a <- 1
b1 <- -0.05
curve(1 / (a + b1 * x), 0, 4, 100, ylab = 'Y',ylim= dy)
title('Обратная функция - тенденция роста')
text(3,1.1,"y=1/(1-0,05*x)")
b2 <- -0.1
curve(1 / (a + b2 * x), 0, 7, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(3,1.3,"y=1/(1-0,1*x)")
b3 <- -0.15
curve(1 / (a + b3 * x), 0, 7, 100, ylim= dy, ylab = 'Y', add=TRUE)
text(3,2.25,"y=1/(1-0.15*x)")

Графики коэффициента эластичности:

Скрипт R:

dy <- c(0,150)
a <- 1
b1 <- -0.05
curve(100 * (-b1 * x) / (a + b1 * x), 0, 4, 100, ylab = 'Y', ylim= dy)
title('Коэффициент эластичности')
text(3,10,"y=1/(1-0.05*x)")
b2 <- -0.1
curve(100 * (-b2 * x) / (a + b2 * x), 0, 7, 100, ylab = 'Y', ylim= dy, add=TRUE)
text(3,30,"y=1/(1-0,1*x)")
b3 <- -0.15
curve(100 * (-b3 * x) / (a + b3 * x), 0, 7, 100, ylab = 'Y', ylim= dy, add=TRUE)
text(3,120,"y=1/(1-0.15*x)")