Не знаю, откуда математика начинается, но предпочитаю, чтобы она была везде
===== ПРОДОЛЖЕНИЕ ========
Множество и его мощность
Кантор, 1895
Цитата
| Под "множеством" мы понимаем любое объединение в одно целое М определенных вполне различаемых объектов m из нашего восприятия или мысли (которые называем "элементами" М). |
Итак, у нас есть 1-1 соответствие, понятия совпадение, понятие множества и элемента.
Связь множества и элемента своим наличием определяет понятия "принадлежит" и "не принадлежит".
Понятие "множество" и понятие "совпадение" позволяет ввести понятие совпадающих множеств. И не совпадающих тоже.
Понятие "множества" и "1-1 соответствия" вводит понятия эквивалентных множеств. И не эквивалентных тоже.
Заметим, что эквивалентные множества не обязательно совпадающие, а вот совпадающие всегда эквивалентные.
Пример.
Множество, состоящее из трех маркетологов эквивалентно множеству из трех математиков, но не это не совпадающие множества.
Понятие "1-1 соответствия" требует найти аналог среди множеств число НОЛЬ. Так возникает понятие пустого множества.
Понятие пустого множество вводится как соответствие между 0 и множеством без элементов. Это "умозрительная" операции, продолжающая тенденцию уменьшения ряда натуральных чисел на 1 после прохождения числа 1.
Отношение эквивалентности и количества элементов множеств дает возможность ввести понятие кардинального числа, которое обобщает все случаи сочетаний множеств и возможностей установления 1-1 соответствия. То есть все ситуации эквивалентностей.
При этом не обязательно считать элементы множества. И даже наоборот - число является производным по отношению к кардинальному числу.
Так можно взять
- некоторое "абстрактное множество",
- "множество натуральных чисел",
- "1-1 соответствие"
то можно определить понятие числа.
Достаточно объявить кардинальное число абстрактного множества первичным и поставить в соответствие эту кардинальному числу множество натуральных чисел по правилу "1-1 соответствия". Так определиться натуральное число, как максимальное натурального число множества.
Заметим, что само множество натуральных чисел не особенно то и нужно - просто оно удобно на роль представителя натурального числа.
Примечание. Замечу, что чем больше объясняешь такие примитивные и фундаментальные связи словами, тем хуже и хуже становится текст и возникает досада на невыразительность языка, на его бессилие в объяснении изящества и простоты кардинального числа, как сущности числа. И эта сущность не выразима словами, она постигаема неким другим феноменом, находящемся за пределами дискурса, в области чувствования абстрактного. Это чувство вызывает наслаждение. Это наслаждение невозможно получить от кого то, его нужно самому заслужить - как дар, как инсайт. "Я понял" - вот и есть тот скачкообразный переход к возникновению абстрактного.
Кантор.
Цитата
| То общее понятие, которое мы получаем с помощью нашей интеллектуальной активности, когда, отправляясь от множества М, мы абстрагируемся от природы его различных элементов и от порядка, в котором они даны, мы называем "мощностью" или "кардинальным числом" множества М. |
Понятие мощности множества полезно. Нужно уйти от понятий "размер", "объем", "число элементов", которые уже зарезервированы. В самом деле размер и объем активно используются в геометрии, а понятие "число" само определяется через мощность и следовательно не может использоваться, так как создает логический круг в определении.
Раз множество М состоит из элементов, можно говорить о его части. Так появляется подмножество.
Множества интересно перемешивать, складывать, вычитать, искать общее. Так появляются пересечение, объединение, разность и дополнение множество.
Итак, появилось много сущностей, настолько много, что уже пора начать наводить порядок.
Первый шаг - сравнить множества по размерам и "построить" их, так сказать, по росту.
Это делает теорема Бернштейна, но не напрямую - а указывая - какие бывают ситуации «меньше», «больше», «равно». Все сводится к тому, что теорема дает четкое указание, какие множества считать равными (по мощности). А также, тот факт, что все сравнения множество сводится только к трем случаям: меньше, равно и больше.
Так возникает отношение порядка.
---------------------------
Благочестивое желание
“Вот бы жестом слаженным
Все ключи исчезли
И в любые скважины
Лишь отмычки лезли!”
Так вот, по привычке,
Мыслят все – отмычки.
Ф.Ницше
Самое маленькое бесконечное множество
Если задано какое то конечное множество, то оно имеет мощность (число элементов, попросту говоря). Мощности отвечает кардинальное число n.
Если к нашему исходному множеству присоединить еще один элемент, то мы получим следующее кардинальное число n+1.
Это интуитивно ясно и не вызывает ни какой путаницы до тех пор, пока мы не встретимся с бесконечным множеством.
«Первым» бесконечным множеством на пути добавления новых элементов к конечном множеству когда нибудь станет множество натуральных чисел.
Множество натуральных чисел явится первым именно потому, что мы просто не сможем помыслить никакого другого бесконечного множества, у которого было бы элементов меньше, чем у множества натуральных чисел.
Раз множество натуральных чисел самое первое, оно и самое маленькое среди всех бесконечных множеств. И для самого маленького бесконечного множества придуман свое кардинальное число -
алеф-нуль
.
Любое кардинальное число конечного множества меньше алеф-нуль.
Так как натуральные числа нужны, чтобы считать, а ряд натуральных чисел – самое маленькое бесконечное множество, то такое множество получило свое название «счетно-бесконечного множества». Заметьте, бывает также и счетно-конечное множество, но это не интересно.
В самом деле, бесконечное множество может состоять из чего угодно, - из слонов, из молекул, из идей, - но это неудобно: каждый раз упоминать, что множество эквивалентно множеству натуральных чисел. Поэтому просто называем подобные множества «счетно-бесконечными».
Раз счетно-бесконечное множество самое маленькое, то оно содержится в ЛЮБОМ бесконечном множестве. Возможно, любое бесконечное множество этим и исчерпывается, а возможно и нет. Вдруг найдутся два счетно-бесконечных множеств в одном каком-нибудь бесконечном множестве.
Ответ: два не найдутся.
Почему? Ответ на этот вопрос разбивает математиков на два лагеря. Один лагерь признает аксиому выбору, другой – нет.
С чем связана аксиома выбора?
Несчетное множество
, кардинальное число бесконечного счетного множества.
Доказательство.
Чтобы доказать, что пи используется как трансцендентное ЧИСЛО, а не СИМВОЛ, достаточно записать ТОЧНУЮ длину окружности диаметра 1.
У Вас может получиться такой ряд приближение
3
3,1
3,14
3,142
3,1415
и т.д
НО ВЫ НИКОГДА НЕ СМОЖЕТЕ ЗАПИСАТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ЦИФР.
Зато Вы можете постулировать существование ПРЕДЕЛА, который и будет обозначен символом ПИ и будет существовать процедура вычисления этого предела со сколь угодно большой точности либо пока НЕ ЗАКОНЧИТСЯ ВСЕ ВЕЩЕСТВО ВСЕЛЕННОЙ для записи символа ПИ в стремлении к максимальной точности.
Таким образом, трансцендентное число ПИ существует как символ и идеальный объект, а в вычислениях и практической деятельности используются рациональные числа.
То же справедливо и для числа Эйлера.
Оно также образовалось как предел - по-моему второй замечательный предел. Использование же числа е широко началось с появлением дифференциальных уравнений и натуральный алгорифм есть интеграл от 1/х.
Но опять же - на практике все проще, мы пользуемся рациональными приближениями и кстати из-за этого имеем массу вычислительных проблем при интегрировании дифференциальных уравнений и взятия интегралов.
И отсюда же возникли (маленькой своей частью конечно) методы решения некорректных задач (Тихонов) как способ ухода от трансцендентности и вытекающей из этого неустойчивости решений.