Наконец-то дорвался до математики... Ну сейчас напишу три, нет пять заметок об основаниях математики. То есть о метаматематике. Откуда ножки растут у современной математики".
Натуральное число...
Получается как соответствие "количеств". То есть количества в кучах СООТВЕТСТВУЮТ.
Пример - стадо из 4-х ослов находится в таком же отношении как и группа из 4-х математиков, но ни 4 осла, ни 4 математика не находятся в таком же отношении с 5-ю маркетологами. То есть невозможно попарно сравнить 4-х ослов с 5-ю маркетологами.
Возможность попарного сравнения без учета того что сравнивается, привело к появлению натурального числа и понятия 1-1 соответствия.
Если какую-либо совокупность можно поставить в 1-1 соответствие с рядом натуральных чисел, то получим счетную совокупность.
Или, как принято говорить - счетное множество.
Счетное множество может быть конечным или бесконечным.
Примеры совсем не очевидных счетных множеств
Множество рациональных чисел может быть поставлено в 1-1 соответствие с натуральными числами и поэтому является счетным множеством.
Множество корней полиномов с целыми коэффициентами то же является счетным. Но корни полинома не обязаны быть целыми. Как правило, это действительные числа. Корни полиномов с целыми коэффициентами имеют специальное название - алгебраические числа. Множество алгебраических чисел - счетно, хотя сами алгебраические числа не обязательно целые, и не обязательно рациональные.
Действительные числа - несчетны.
Если исключить из множества действительных чисел алгебраические числа - останутся трансцендентные действительные числа.
В чем "удивительность" трансцендентных действительных чисел, так это то, что они существуют сами по себе и не связаны ни с каким решением уравнения, то есть не являются корнями целочисленного полинома.
Спросите - ну и что из этого?
А то, что трансцендентные числа - это ЧИСТЫЙ продукт математического ума. Все остальные числа следуют из каких то практических задач. Найти то, измерить это, в какой пропорции делится... И так далее.
А для трансцендентных чисел нет ни одной практической задачи!
Не верите?
И правильно делаете! Докажите обратное! В математике нет нужды верить.
Эта «отвязность» и непрактичность трансцендентных чисел тревожит - а нужны ли они на самом деле. Пока существование трансцендентных чисел вытекает из диагональной процедуры Кантора - специально придуманной конструкции.
Вывод. Начав с выяснения общего свойства всех количеств можно одним лишь усилием ума дойти до трансцендентных вещей, существование которых никоим образом не описывается реальной (физической) действительностью.
Реальны ли трансцендентные действительные числа?
На этот вопрос нет ответа.
А вот это предмет математической веры.
Весьма специфической.
Математическая вера всегда начинается словами "Пусть задано..."
Символ математической веры в реальной трансцендентных чисел - аксиома выбора.
В зависимости от ответа на вопрос, сформулированный в аксиомой выбора, математики делятся на два сообщества: традиционные математики, не отказывающие в реальности трансцендентным действительным числам. И конструктивные математики - отказывающие реальности существования таким числам.
В самом названии "аксиома выбора", кстати, отражен сущностной признак математической веры - ВЫБОР. Однажды выбрав набор аксиом, доверься им и следуй строго до конца, до последней теоремы или вздоха.
Там, где есть два лагеря, почему то всегда находится "жидкая" прослойка - примиренцы. Результатом работы этой группы математиков стали гипердействительные числа - весьма интересная и перспективная, ИМХО, конструкция.
Истина видимо всегда по середине. Философы утверждают что эта середина называется диалектическим противоречием...
Натуральное число является подлинным ОСНОВАНИЕМ математики, первым, первоосновой. На этой конструкции покоится все здание математике. Но впрочем, не только на нем, о чем и будет позже. О другом основании - множестве.
P.S. Кстати, до сих пор не доказано, что натуральный ряд бесконечный и обладает одним и тем же свойством на всем его протяжении.
Свойство это звучит так: "Если к любому натуральному числу прибавить единицу, получишь следующее натуральное число". Именно это эмпирически не доказано. Никто не может быть на все 100% быть уверен, что где в огромной дали ряда прибавление единицы даст следующее натуральное число. Может даст тоже. Тогда у ряда есть максимум. Или даст единицу. Тогда ряд - кольцо. Или даст что-то трансфинитное, что нам не знамо, но что есть объект, отвечающий символу бесконечность.
Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.
А. Эйнштейн
***
Натуральное число...
Получается как соответствие "количеств". То есть количества в кучах СООТВЕТСТВУЮТ.
Пример - стадо из 4-х ослов находится в таком же отношении как и группа из 4-х математиков, но ни 4 осла, ни 4 математика не находятся в таком же отношении с 5-ю маркетологами. То есть невозможно попарно сравнить 4-х ослов с 5-ю маркетологами.
Возможность попарного сравнения без учета того что сравнивается, привело к появлению натурального числа и понятия 1-1 соответствия.
Если какую-либо совокупность можно поставить в 1-1 соответствие с рядом натуральных чисел, то получим счетную совокупность.
Или, как принято говорить - счетное множество.
Счетное множество может быть конечным или бесконечным.
Примеры совсем не очевидных счетных множеств
Множество рациональных чисел может быть поставлено в 1-1 соответствие с натуральными числами и поэтому является счетным множеством.
Множество корней полиномов с целыми коэффициентами то же является счетным. Но корни полинома не обязаны быть целыми. Как правило, это действительные числа. Корни полиномов с целыми коэффициентами имеют специальное название - алгебраические числа. Множество алгебраических чисел - счетно, хотя сами алгебраические числа не обязательно целые, и не обязательно рациональные.
Действительные числа - несчетны.
Если исключить из множества действительных чисел алгебраические числа - останутся трансцендентные действительные числа.
В чем "удивительность" трансцендентных действительных чисел, так это то, что они существуют сами по себе и не связаны ни с каким решением уравнения, то есть не являются корнями целочисленного полинома.
Спросите - ну и что из этого?
А то, что трансцендентные числа - это ЧИСТЫЙ продукт математического ума. Все остальные числа следуют из каких то практических задач. Найти то, измерить это, в какой пропорции делится... И так далее.
А для трансцендентных чисел нет ни одной практической задачи!
Не верите?
И правильно делаете! Докажите обратное! В математике нет нужды верить.
Эта «отвязность» и непрактичность трансцендентных чисел тревожит - а нужны ли они на самом деле. Пока существование трансцендентных чисел вытекает из диагональной процедуры Кантора - специально придуманной конструкции.
Вывод. Начав с выяснения общего свойства всех количеств можно одним лишь усилием ума дойти до трансцендентных вещей, существование которых никоим образом не описывается реальной (физической) действительностью.
Реальны ли трансцендентные действительные числа?
На этот вопрос нет ответа.
А вот это предмет математической веры.
Весьма специфической.
Математическая вера всегда начинается словами "Пусть задано..."
Символ математической веры в реальной трансцендентных чисел - аксиома выбора.
В зависимости от ответа на вопрос, сформулированный в аксиомой выбора, математики делятся на два сообщества: традиционные математики, не отказывающие в реальности трансцендентным действительным числам. И конструктивные математики - отказывающие реальности существования таким числам.
В самом названии "аксиома выбора", кстати, отражен сущностной признак математической веры - ВЫБОР. Однажды выбрав набор аксиом, доверься им и следуй строго до конца, до последней теоремы или вздоха.
Там, где есть два лагеря, почему то всегда находится "жидкая" прослойка - примиренцы. Результатом работы этой группы математиков стали гипердействительные числа - весьма интересная и перспективная, ИМХО, конструкция.
Истина видимо всегда по середине. Философы утверждают что эта середина называется диалектическим противоречием...
Натуральное число является подлинным ОСНОВАНИЕМ математики, первым, первоосновой. На этой конструкции покоится все здание математике. Но впрочем, не только на нем, о чем и будет позже. О другом основании - множестве.
P.S. Кстати, до сих пор не доказано, что натуральный ряд бесконечный и обладает одним и тем же свойством на всем его протяжении.
Свойство это звучит так: "Если к любому натуральному числу прибавить единицу, получишь следующее натуральное число". Именно это эмпирически не доказано. Никто не может быть на все 100% быть уверен, что где в огромной дали ряда прибавление единицы даст следующее натуральное число. Может даст тоже. Тогда у ряда есть максимум. Или даст единицу. Тогда ряд - кольцо. Или даст что-то трансфинитное, что нам не знамо, но что есть объект, отвечающий символу бесконечность.
Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.
А. Эйнштейн
***
====================== из комментариев ===========
Цитата
Число pi является трансцендентным, но применяется на практике очень часто - когда есть потребность измерить окружность. площадь сферы, цилиндра, объем шара. Так же:
А для трансцендентных чисел нет ни одной практической задачи!
Код
См. http://www.imyanauki.ru/links/esse/document4789.phtml | Эйлер показал, что решения многих дифференциальных уравнений (например, описывающих закон охлаждения тел, радиоактивный распад, колебания маятника, разрядку или зарядку конденсатора) содержат экспоненциальную функцию (y = e^x). Появление такой функции в решениях связано с тем, что скорость изменения величины (например, температуры), определяющей сам физический процесс, пропорциональна этой величине. |
Цитата
2 аксиома Пеано: "Число, следующее за натуральным, также является натуральным". Следование - трансфинитная в своей применимости операция. Пока во всяком случае её не ограничат явно. Что, насколько мне известно, не сделано.
|
Доказательство.
Чтобы доказать, что пи используется как трансцендентное ЧИСЛО, а не СИМВОЛ, достаточно записать ТОЧНУЮ длину окружности диаметра 1.
У Вас может получиться такой ряд приближение
3
3,1
3,14
3,142
3,1415
и т.д
НО ВЫ НИКОГДА НЕ СМОЖЕТЕ ЗАПИСАТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ЦИФР.
Зато Вы можете постулировать существование ПРЕДЕЛА, который и будет обозначен символом ПИ и будет существовать процедура вычисления этого предела со сколь угодно большой точности либо пока НЕ ЗАКОНЧИТСЯ ВСЕ ВЕЩЕСТВО ВСЕЛЕННОЙ для записи символа ПИ в стремлении к максимальной точности.
Таким образом, трансцендентное число ПИ существует как символ и идеальный объект, а в вычислениях и практической деятельности используются рациональные числа.
То же справедливо и для числа Эйлера.
Оно также образовалось как предел - по-моему второй замечательный предел. Использование же числа е широко началось с появлением дифференциальных уравнений и натуральный алгорифм есть интеграл от 1/х.
Но опять же - на практике все проще, мы пользуемся рациональными приближениями и кстати из-за этого имеем массу вычислительных проблем при интегрировании дифференциальных уравнений и взятия интегралов.
И отсюда же возникли (маленькой своей частью конечно) методы решения некорректных задач (Тихонов) как способ ухода от трансцендентности и вытекающей из этого неустойчивости решений.
Аксиома - это ВЕРА!
Без аксиом конечно никуда, но метаматематика стремиться уменьшить число аксиом. Идеал - только одна аксиома.
Аксиома Пеано порождает огромные проблемы и ее стремяться ликвидировать, но пока не получается. Бесконечность не удается вывести - ее приходится постулировать. Этот вопрос серьезно обсуждается в аксиоматике теории множеств. Дело в том, что аксиома бесконечности предполагает действие закона исключенного третьего. А этот закон в логики самый не безупречный и Гаусс, да и Вейерштрасс всерьез сомневались в методе доказательства от противного, предополагающего абсолютный характер действия закона исключенного третьего.
Поэтому и приходится вводить аксиому - как элемент ВЕРЫ, а не элемент ЗНАНИЯ.
Без аксиом конечно никуда, но метаматематика стремиться уменьшить число аксиом. Идеал - только одна аксиома.
Аксиома Пеано порождает огромные проблемы и ее стремяться ликвидировать, но пока не получается. Бесконечность не удается вывести - ее приходится постулировать. Этот вопрос серьезно обсуждается в аксиоматике теории множеств. Дело в том, что аксиома бесконечности предполагает действие закона исключенного третьего. А этот закон в логики самый не безупречный и Гаусс, да и Вейерштрасс всерьез сомневались в методе доказательства от противного, предополагающего абсолютный характер действия закона исключенного третьего.
Поэтому и приходится вводить аксиому - как элемент ВЕРЫ, а не элемент ЗНАНИЯ.
Цитата
- это касается всех иррациональных цифр, таких, как корень из 2. Они тоже практически не применимы? Вы подменяете понятие "практическая применимость" понятием исчислимости, - напрасно.
НО ВЫ НИКОГДА НЕ СМОЖЕТЕ ЗАПИСАТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ЦИФР.
Про аксиому как элемент веры, а не знания. Вы ударяетесь в софистику. Математика есть знание, как из системы аксиом и правил вывода построить строгие, доказуемые теории. Верить или не верить в аксиомы математики, строго говоря - бессмысленный вопрос, ни о чем. Вы можете сколь угодно отрицать аксиомы той или иной математической теории, но, чтобы выводить из них математические теории, не нужно веры или сомнения, данный параметр просто не применим к математике. К примеру, в теории множеств есть конкурирующие аксиоматики, и для работы в этой теории, вы выбираете (или создаете) аксиоматику и правила вывода, и далее работаете по ним. Вопрос выбора - вне математики, т.к. математика начинается после выбора аксиоматики.
"практическая применимость" - согласен что это не строго, но это не тождественно исчислимости (вычислению значения функции за конечное число операций). Строго говоря нужно было использовать "получаемые финитным способом"). Финитность же дана в теории формальных систем как определение.
Математика - это язык
Математика не есть знание, это наука. Это будет больше чем знание, как подвид данных. Я встречал, что математика это язык. Также метаматематика утверждает что это абстрактная система (естественно перед этим дается определение абстрактной модели). Далее - есть что это модель. ну и так далее...
Но знание - это очень мало.
Вы знаете, где собака зарыла куриную косточку и это то же знание. Ну и что?
Математика не есть знание, это наука. Это будет больше чем знание, как подвид данных. Я встречал, что математика это язык. Также метаматематика утверждает что это абстрактная система (естественно перед этим дается определение абстрактной модели). Далее - есть что это модель. ну и так далее...
Но знание - это очень мало.
Вы знаете, где собака зарыла куриную косточку и это то же знание. Ну и что?
Теорема Черча: истина не доказуема!
аксиоматика теории множество - пока тупик!
В теории множеств нет конкурирующих аксиоматик. Есть разные виды аксиоматик, предложенных в разное время для преодоления парадоксов Бурали-Форти, Рассела, Ришара и Эпиминида. Они так скажем "вложены" друг в друга с точки зрения того, сколько парадоксов можно решить с помощью данной аксиоматики. Конечно, есть "исторические" варианты аксиоматик, но они уже лишь история математики и не могут рассматриваться как действующие.
Ни одна из аксиоматик не решила всех парадоксов, в связи с чем они признаны негодными по совокупности с точки зрения высочайшего качества и строгости размышлений и развитие в этом направлении было оставлено.
В замен этого возникла теория категорий, в рамках которой МНОЖЕСТВО есть ТЕОРЕМА, а не аксиома. Также и ИСТИНА - то же ТЕОРЕМА.
Но это только начинается...
Для работы (например, землемерной работы) вообще аксиоматика теории множеств не нужна. Равно как и для вывода спутников на орбиту тоже. Для этого достаточно дифференциального исчисления, которое было создана на 100 лет раньше теории множеств.
Ни одна из аксиоматик не решила всех парадоксов, в связи с чем они признаны негодными по совокупности с точки зрения высочайшего качества и строгости размышлений и развитие в этом направлении было оставлено.
В замен этого возникла теория категорий, в рамках которой МНОЖЕСТВО есть ТЕОРЕМА, а не аксиома. Также и ИСТИНА - то же ТЕОРЕМА.
Но это только начинается...
Для работы (например, землемерной работы) вообще аксиоматика теории множеств не нужна. Равно как и для вывода спутников на орбиту тоже. Для этого достаточно дифференциального исчисления, которое было создана на 100 лет раньше теории множеств.
С благодарностью!
Не знаю, откуда математика начинается, но предпочитаю, чтобы она была везде
===== ПРОДОЛЖЕНИЕ ========
Кантор, 1895
Связь множества и элемента своим наличием определяет понятия "принадлежит" и "не принадлежит".
Понятие "множество" и понятие "совпадение" позволяет ввести понятие совпадающих множеств. И не совпадающих тоже.
Понятие "множества" и "1-1 соответствия" вводит понятия эквивалентных множеств. И не эквивалентных тоже.
Заметим, что эквивалентные множества не обязательно совпадающие, а вот совпадающие всегда эквивалентные.
Пример.
Множество, состоящее из трех маркетологов эквивалентно множеству из трех математиков, но не это не совпадающие множества.
Понятие "1-1 соответствия" требует найти аналог среди множеств число НОЛЬ. Так возникает понятие пустого множества.
Понятие пустого множество вводится как соответствие между 0 и множеством без элементов. Это "умозрительная" операции, продолжающая тенденцию уменьшения ряда натуральных чисел на 1 после прохождения числа 1.
Отношение эквивалентности и количества элементов множеств дает возможность ввести понятие кардинального числа, которое обобщает все случаи сочетаний множеств и возможностей установления 1-1 соответствия. То есть все ситуации эквивалентностей.
При этом не обязательно считать элементы множества. И даже наоборот - число является производным по отношению к кардинальному числу.
Так можно взять
- некоторое "абстрактное множество",
- "множество натуральных чисел",
- "1-1 соответствие"
то можно определить понятие числа.
Достаточно объявить кардинальное число абстрактного множества первичным и поставить в соответствие эту кардинальному числу множество натуральных чисел по правилу "1-1 соответствия". Так определиться натуральное число, как максимальное натурального число множества.
Заметим, что само множество натуральных чисел не особенно то и нужно - просто оно удобно на роль представителя натурального числа.
Примечание. Замечу, что чем больше объясняешь такие примитивные и фундаментальные связи словами, тем хуже и хуже становится текст и возникает досада на невыразительность языка, на его бессилие в объяснении изящества и простоты кардинального числа, как сущности числа. И эта сущность не выразима словами, она постигаема неким другим феноменом, находящемся за пределами дискурса, в области чувствования абстрактного. Это чувство вызывает наслаждение. Это наслаждение невозможно получить от кого то, его нужно самому заслужить - как дар, как инсайт. "Я понял" - вот и есть тот скачкообразный переход к возникновению абстрактного.
Кантор.
Раз множество М состоит из элементов, можно говорить о его части. Так появляется подмножество.
Множества интересно перемешивать, складывать, вычитать, искать общее. Так появляются пересечение, объединение, разность и дополнение множество.
Итак, появилось много сущностей, настолько много, что уже пора начать наводить порядок.
Первый шаг - сравнить множества по размерам и "построить" их, так сказать, по росту.
Это делает теорема Бернштейна, но не напрямую - а указывая - какие бывают ситуации «меньше», «больше», «равно». Все сводится к тому, что теорема дает четкое указание, какие множества считать равными (по мощности). А также, тот факт, что все сравнения множество сводится только к трем случаям: меньше, равно и больше.
Так возникает отношение порядка.
---------------------------
Благочестивое желание
“Вот бы жестом слаженным
Все ключи исчезли
И в любые скважины
Лишь отмычки лезли!”
Так вот, по привычке,
Мыслят все – отмычки.
Ф.Ницше
Самое маленькое бесконечное множество
Если задано какое то конечное множество, то оно имеет мощность (число элементов, попросту говоря). Мощности отвечает кардинальное число n.
Если к нашему исходному множеству присоединить еще один элемент, то мы получим следующее кардинальное число n+1.
Это интуитивно ясно и не вызывает ни какой путаницы до тех пор, пока мы не встретимся с бесконечным множеством.
«Первым» бесконечным множеством на пути добавления новых элементов к конечном множеству когда нибудь станет множество натуральных чисел.
Множество натуральных чисел явится первым именно потому, что мы просто не сможем помыслить никакого другого бесконечного множества, у которого было бы элементов меньше, чем у множества натуральных чисел.
Раз множество натуральных чисел самое первое, оно и самое маленькое среди всех бесконечных множеств. И для самого маленького бесконечного множества придуман свое кардинальное число -
алеф-нуль
.
Любое кардинальное число конечного множества меньше алеф-нуль.
Так как натуральные числа нужны, чтобы считать, а ряд натуральных чисел – самое маленькое бесконечное множество, то такое множество получило свое название «счетно-бесконечного множества». Заметьте, бывает также и счетно-конечное множество, но это не интересно.
В самом деле, бесконечное множество может состоять из чего угодно, - из слонов, из молекул, из идей, - но это неудобно: каждый раз упоминать, что множество эквивалентно множеству натуральных чисел. Поэтому просто называем подобные множества «счетно-бесконечными».
Раз счетно-бесконечное множество самое маленькое, то оно содержится в ЛЮБОМ бесконечном множестве. Возможно, любое бесконечное множество этим и исчерпывается, а возможно и нет. Вдруг найдутся два счетно-бесконечных множеств в одном каком-нибудь бесконечном множестве.
Ответ: два не найдутся.
Почему? Ответ на этот вопрос разбивает математиков на два лагеря. Один лагерь признает аксиому выбору, другой – нет.
С чем связана аксиома выбора?
Несчетное множество
===== ПРОДОЛЖЕНИЕ ========
Множество и его мощность
Кантор, 1895
Цитата
Итак, у нас есть 1-1 соответствие, понятия совпадение, понятие множества и элемента.
Под "множеством" мы понимаем любое объединение в одно целое М определенных вполне различаемых объектов m из нашего восприятия или мысли (которые называем "элементами" М).
Связь множества и элемента своим наличием определяет понятия "принадлежит" и "не принадлежит".
Понятие "множество" и понятие "совпадение" позволяет ввести понятие совпадающих множеств. И не совпадающих тоже.
Понятие "множества" и "1-1 соответствия" вводит понятия эквивалентных множеств. И не эквивалентных тоже.
Заметим, что эквивалентные множества не обязательно совпадающие, а вот совпадающие всегда эквивалентные.
Пример.
Множество, состоящее из трех маркетологов эквивалентно множеству из трех математиков, но не это не совпадающие множества.
Понятие "1-1 соответствия" требует найти аналог среди множеств число НОЛЬ. Так возникает понятие пустого множества.
Понятие пустого множество вводится как соответствие между 0 и множеством без элементов. Это "умозрительная" операции, продолжающая тенденцию уменьшения ряда натуральных чисел на 1 после прохождения числа 1.
Отношение эквивалентности и количества элементов множеств дает возможность ввести понятие кардинального числа, которое обобщает все случаи сочетаний множеств и возможностей установления 1-1 соответствия. То есть все ситуации эквивалентностей.
При этом не обязательно считать элементы множества. И даже наоборот - число является производным по отношению к кардинальному числу.
Так можно взять
- некоторое "абстрактное множество",
- "множество натуральных чисел",
- "1-1 соответствие"
то можно определить понятие числа.
Достаточно объявить кардинальное число абстрактного множества первичным и поставить в соответствие эту кардинальному числу множество натуральных чисел по правилу "1-1 соответствия". Так определиться натуральное число, как максимальное натурального число множества.
Заметим, что само множество натуральных чисел не особенно то и нужно - просто оно удобно на роль представителя натурального числа.
Примечание. Замечу, что чем больше объясняешь такие примитивные и фундаментальные связи словами, тем хуже и хуже становится текст и возникает досада на невыразительность языка, на его бессилие в объяснении изящества и простоты кардинального числа, как сущности числа. И эта сущность не выразима словами, она постигаема неким другим феноменом, находящемся за пределами дискурса, в области чувствования абстрактного. Это чувство вызывает наслаждение. Это наслаждение невозможно получить от кого то, его нужно самому заслужить - как дар, как инсайт. "Я понял" - вот и есть тот скачкообразный переход к возникновению абстрактного.
Кантор.
Цитата
Понятие мощности множества полезно. Нужно уйти от понятий "размер", "объем", "число элементов", которые уже зарезервированы. В самом деле размер и объем активно используются в геометрии, а понятие "число" само определяется через мощность и следовательно не может использоваться, так как создает логический круг в определении.
То общее понятие, которое мы получаем с помощью нашей интеллектуальной активности, когда, отправляясь от множества М, мы абстрагируемся от природы его различных элементов и от порядка, в котором они даны, мы называем "мощностью" или "кардинальным числом" множества М.
Раз множество М состоит из элементов, можно говорить о его части. Так появляется подмножество.
Множества интересно перемешивать, складывать, вычитать, искать общее. Так появляются пересечение, объединение, разность и дополнение множество.
Итак, появилось много сущностей, настолько много, что уже пора начать наводить порядок.
Первый шаг - сравнить множества по размерам и "построить" их, так сказать, по росту.
Это делает теорема Бернштейна, но не напрямую - а указывая - какие бывают ситуации «меньше», «больше», «равно». Все сводится к тому, что теорема дает четкое указание, какие множества считать равными (по мощности). А также, тот факт, что все сравнения множество сводится только к трем случаям: меньше, равно и больше.
Так возникает отношение порядка.
---------------------------
Благочестивое желание
“Вот бы жестом слаженным
Все ключи исчезли
И в любые скважины
Лишь отмычки лезли!”
Так вот, по привычке,
Мыслят все – отмычки.
Ф.Ницше
Самое маленькое бесконечное множество
Если задано какое то конечное множество, то оно имеет мощность (число элементов, попросту говоря). Мощности отвечает кардинальное число n.
Если к нашему исходному множеству присоединить еще один элемент, то мы получим следующее кардинальное число n+1.
Это интуитивно ясно и не вызывает ни какой путаницы до тех пор, пока мы не встретимся с бесконечным множеством.
«Первым» бесконечным множеством на пути добавления новых элементов к конечном множеству когда нибудь станет множество натуральных чисел.
Множество натуральных чисел явится первым именно потому, что мы просто не сможем помыслить никакого другого бесконечного множества, у которого было бы элементов меньше, чем у множества натуральных чисел.
Раз множество натуральных чисел самое первое, оно и самое маленькое среди всех бесконечных множеств. И для самого маленького бесконечного множества придуман свое кардинальное число -
алеф-нуль
.
Любое кардинальное число конечного множества меньше алеф-нуль.
Так как натуральные числа нужны, чтобы считать, а ряд натуральных чисел – самое маленькое бесконечное множество, то такое множество получило свое название «счетно-бесконечного множества». Заметьте, бывает также и счетно-конечное множество, но это не интересно.
В самом деле, бесконечное множество может состоять из чего угодно, - из слонов, из молекул, из идей, - но это неудобно: каждый раз упоминать, что множество эквивалентно множеству натуральных чисел. Поэтому просто называем подобные множества «счетно-бесконечными».
Раз счетно-бесконечное множество самое маленькое, то оно содержится в ЛЮБОМ бесконечном множестве. Возможно, любое бесконечное множество этим и исчерпывается, а возможно и нет. Вдруг найдутся два счетно-бесконечных множеств в одном каком-нибудь бесконечном множестве.
Ответ: два не найдутся.
Почему? Ответ на этот вопрос разбивает математиков на два лагеря. Один лагерь признает аксиому выбору, другой – нет.
С чем связана аксиома выбора?
Несчетное множество
Если мы к счетно-бесконечному множеству прибавим какое то конечное множество, то наше исходное бесконечное множество НЕ УВЕЛИЧИТСЯ. Он останется по размеру таким же. Также, если мы из нашего счетно-бесконечного множества удалим некоторое конечное множество элементов, он НЕ УМЕНЬШИТСЯ.
Это явление получило название парадокса Галилея. Более того, Дедекинд в 1888 году предложил этот парадокс считать
ОПРЕДЕЛЕНИЕМ БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА. То есть, только то множество может считаться бесконечного, которое остается таковым после удаления из некого любого конечного числа элементов.
На математическом языке это звучит так: «бесконечное множество эквивалентно некоторому своему подмножеству, не совпадающему с самим множеством».
С добавлением конечного множества к бесконечному множеству вроде бы разобрались. А что будет, если мы к счетно-бесконечному множеству добавим еще одно счетно-бесконечное множество?
А ничего не будет! Будет то же самое бесконечно-счетное множество. Более того, если мы к бесконечно-счетному множеству добавим конечное число счетно-бесконечных множеств, наше исходное множество так и останется бесконечно-счетным и его размер (кардинальное число) НЕ ИЗМЕНИТСЯ.
А это уже выглядит как беспредел. Добавляем конечное число элементов – множество не изменяется. Добавляем счетное бесконечное число элементов – тоже не изменяется.
И вот тут мысленным усилием вводим НЕСЧЕТНОЕ множество, которое больше счетного и спрашиваем себя – а как его построить!
Именно в этом месте зримо проявился ДЕДУКТИВНЫЙ метод математики.
Небольшое отступление.
Шерлок Холмс.
У подавляющего большинства и книга, и фильм вызывают неподдельный интерес. И дедуктивный метод Шерлока Холмса. Но я почему ДЕДУКТИВНЫЙ? Видимо, у Конан Дойля настолько плохо было с философией, что он не обратил внимания на труды своего соотечественника.
Полновесно, по моему мнению, понятия «индуктивный» и «дедуктивный» были раскрыто Фрэнсисом Беконом в «Новом Органоне» путем критики Аристотеля и его концепции силлогизма. А окончательную точку поставил Милль в работе «Система логики».
И где же у Шерлока Холмса дедукция? Просто невозможно ни читать, ни смотреть фильм – отсутствие дедукции разрушает мозг!
Итак, возвратимся к дедукции.
Добавляя элементы к счетно-бесконечному множеству опять получаем то же множество. Прибавляем счетно-бесконечное множество – опять получаем то же множество.
Индукция говорит нам – на этом все и закончится!
То есть, опираясь на индуктивный метод все, что можно получить – это то, что бесконечно-счетным множеством все и заканчивается.
Потому что «это не может быть потому, что этого не может быть никогда». Великолепная художественная формула индуктивного метода.
И что?
А мы игнорирует опыт!
Игнорируем факт!
И запросто вводим новое понятие – несчетного множества.
И пусть практики отдыхают!
Это и есть дедукция.
Наплевать на все и на всех.
Ввести и все.
И ни каких гвоздей!
А если этого понятия несчетного множества нет в действительности, то тем хуже для действительности!
Правда, насилие над действительностью, над фактами, введенными дедуктивным методом, тоже не беспредельно. Новое понятие должно играть, взаимодействовать и жить с другими понятиями по законам логики, законам дедукции: правильных модусов разделительно-категорических заключений (modus ponendo-tollens и modus tollendo-ponens), условных умозаключений контрпозиции (сложной и простой) и транзитивности, а также правильных форм конструктивных и деструктивных дилемм (сложных и простых). Всего девять структур заключений.
Итак, у нас есть счетное бесконечное множество и несчетное множество.
Несчетное множество больше счетного.
Но есть ли между этими множествами еще какое-нибудь множество?
А кто его знает?
Если вы верите, что нет, значит вы поддерживаете аксиому выбора.
Если считаете, что есть, то вы не поддерживаете аксиому выбора. Правда в последнем случае вас обязывают указать хотя бы одно множество между счетным и несчетным множеством. Пока это никому не удалось. Максимум, что удалось – это отказать в существовании вообще бесконечным множествам как неактуальным и надуманным понятиям. Так возникло течение конструктивной математики.
Кардинальные числа имеют интересную интерпретацию в рамках теории Кантора. Теория Кантора строит восходящий ряд трансфинитных кардинальных чисел.
Трансфинитное число характеризует бесконечные множество, а первым трансфинитным числом служит алеф-нуль
, кардинальное число бесконечного счетного множества.
Следующее трансфинитное число строится как двойка в степени алеф-нуль -
Множество, отвечающее этому кардинальному числу, строится довольно просто: нужно построить множество всех подмножеств исходного множества. Так получим первое несчетное множество. Его мощность равна мощности действительных чисел.
Если мы построим множество подмножеств множества действительных чисел – мы получим следующее трансфинитное кардинальное число
Так получается ряд абстрактных множеств возрастающих по мощности бесконечных множеств и канторовская теория абстрактных множеств.
Кстати, множество с кардинальным числом
имеет ясную интерпретацию. Это множество графиков всех действительных непрерывных функций с действительным аргументом.
К сожалению, в этой теории по мере ее развития возникают логические трудности, обозначенные как парадоксы.
Их много.
Парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора, парадокс Рассела, парадокс Ришара, парадокс Эпимида.
Все парадоксы связаны с тем отсутствие ответа на вопрос: что делать с «множеством всех множеств»?. Какая у такого множества мощность? Где находится "множество всех множеств" в ряду упорядоченных по мощности множеств.
Логическую трудность с интерпретацией "множества всех множеств" можно продемонстрировать на таком примере.
Положим, что каждый город должен иметь мэра. Двух мэров в городе быть не может. Иногда мэр живет в городе, иногда нет. Допустим, для мэров, не живущих в своем городе, построен специальный город и всем мэрам, не живущим в своем городе предписано законом жить в этом специальном городе.
Вопрос: где должен жить мэр этого города, в котором живут мэры городов, которые не живут в своих городах?
ОПРЕДЕЛЕНИЕМ БЕСКОНЕЧНОГО МНОЖЕСТВА. То есть, только то множество может считаться бесконечного, которое остается таковым после удаления из некого любого конечного числа элементов.
На математическом языке это звучит так: «бесконечное множество эквивалентно некоторому своему подмножеству, не совпадающему с самим множеством».
С добавлением конечного множества к бесконечному множеству вроде бы разобрались. А что будет, если мы к счетно-бесконечному множеству добавим еще одно счетно-бесконечное множество?
А ничего не будет! Будет то же самое бесконечно-счетное множество. Более того, если мы к бесконечно-счетному множеству добавим конечное число счетно-бесконечных множеств, наше исходное множество так и останется бесконечно-счетным и его размер (кардинальное число) НЕ ИЗМЕНИТСЯ.
А это уже выглядит как беспредел. Добавляем конечное число элементов – множество не изменяется. Добавляем счетное бесконечное число элементов – тоже не изменяется.
И вот тут мысленным усилием вводим НЕСЧЕТНОЕ множество, которое больше счетного и спрашиваем себя – а как его построить!
Именно в этом месте зримо проявился ДЕДУКТИВНЫЙ метод математики.
Небольшое отступление.
Шерлок Холмс.
У подавляющего большинства и книга, и фильм вызывают неподдельный интерес. И дедуктивный метод Шерлока Холмса. Но я почему ДЕДУКТИВНЫЙ? Видимо, у Конан Дойля настолько плохо было с философией, что он не обратил внимания на труды своего соотечественника.
Полновесно, по моему мнению, понятия «индуктивный» и «дедуктивный» были раскрыто Фрэнсисом Беконом в «Новом Органоне» путем критики Аристотеля и его концепции силлогизма. А окончательную точку поставил Милль в работе «Система логики».
И где же у Шерлока Холмса дедукция? Просто невозможно ни читать, ни смотреть фильм – отсутствие дедукции разрушает мозг!
Итак, возвратимся к дедукции.
Добавляя элементы к счетно-бесконечному множеству опять получаем то же множество. Прибавляем счетно-бесконечное множество – опять получаем то же множество.
Индукция говорит нам – на этом все и закончится!
То есть, опираясь на индуктивный метод все, что можно получить – это то, что бесконечно-счетным множеством все и заканчивается.
Потому что «это не может быть потому, что этого не может быть никогда». Великолепная художественная формула индуктивного метода.
И что?
А мы игнорирует опыт!
Игнорируем факт!
И запросто вводим новое понятие – несчетного множества.
И пусть практики отдыхают!
Это и есть дедукция.
Наплевать на все и на всех.
Ввести и все.
И ни каких гвоздей!
А если этого понятия несчетного множества нет в действительности, то тем хуже для действительности!
Правда, насилие над действительностью, над фактами, введенными дедуктивным методом, тоже не беспредельно. Новое понятие должно играть, взаимодействовать и жить с другими понятиями по законам логики, законам дедукции: правильных модусов разделительно-категорических заключений (modus ponendo-tollens и modus tollendo-ponens), условных умозаключений контрпозиции (сложной и простой) и транзитивности, а также правильных форм конструктивных и деструктивных дилемм (сложных и простых). Всего девять структур заключений.
Итак, у нас есть счетное бесконечное множество и несчетное множество.
Несчетное множество больше счетного.
Но есть ли между этими множествами еще какое-нибудь множество?
А кто его знает?
Если вы верите, что нет, значит вы поддерживаете аксиому выбора.
Если считаете, что есть, то вы не поддерживаете аксиому выбора. Правда в последнем случае вас обязывают указать хотя бы одно множество между счетным и несчетным множеством. Пока это никому не удалось. Максимум, что удалось – это отказать в существовании вообще бесконечным множествам как неактуальным и надуманным понятиям. Так возникло течение конструктивной математики.
Кардинальные числа имеют интересную интерпретацию в рамках теории Кантора. Теория Кантора строит восходящий ряд трансфинитных кардинальных чисел.
Трансфинитное число характеризует бесконечные множество, а первым трансфинитным числом служит алеф-нуль
, кардинальное число бесконечного счетного множества.Следующее трансфинитное число строится как двойка в степени алеф-нуль -
Если мы построим множество подмножеств множества действительных чисел – мы получим следующее трансфинитное кардинальное число
Кстати, множество с кардинальным числом
К сожалению, в этой теории по мере ее развития возникают логические трудности, обозначенные как парадоксы.
Их много.
Парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора, парадокс Рассела, парадокс Ришара, парадокс Эпимида.
Все парадоксы связаны с тем отсутствие ответа на вопрос: что делать с «множеством всех множеств»?. Какая у такого множества мощность? Где находится "множество всех множеств" в ряду упорядоченных по мощности множеств.
Логическую трудность с интерпретацией "множества всех множеств" можно продемонстрировать на таком примере.
Положим, что каждый город должен иметь мэра. Двух мэров в городе быть не может. Иногда мэр живет в городе, иногда нет. Допустим, для мэров, не живущих в своем городе, построен специальный город и всем мэрам, не живущим в своем городе предписано законом жить в этом специальном городе.
Вопрос: где должен жить мэр этого города, в котором живут мэры городов, которые не живут в своих городах?
Комментариев нет:
Отправить комментарий