Теория игр и голосование

Задача состоит в том, чтобы из индивидуальных предпочтений образовать коллективное предпочтение. То есть, как голосовать, чтобы получился "правильный" результат.

Оказывается, не существует хорошей системы голосования.

Для демонстрации этого утверждения рассмотрим пример. Допустим, некоторое сообщество голосует по вопросу выбора цвета забора. Допустим, что имеется три цвета - белый, черный и красный. В таблице представлены предпочтения по выбору цвета, то есть цвета упорядочены по убыванию предпочтения.

45 чел	Белый	Черный	Красный
40 чел	Черный	Красный	Белый
15 чел	Красный	Белый	Черный

С учетом данных предпочтений побеждает белый цвет, так его выбирает большинство - 45 человек. Черный выбрали 40 человек, а красный - 15 человек. Но допустим, оказалось, что черного цвета нет на складе. Тогда получаем такую таблицу предпочтений:

45 чел	Белый		Красный
40 чел		Красный	Белый
15 чел	Красный	Белый

И результат получается иной - побеждает красный цвет - его выбирает 55 человек (40 + 15).

В этом примере голосовало сообщество. Допустим мы решили пребегнуть к услугам экспертов: Иван Ивановичу, Петру Петровичу и Федору Федоровичу. Их предпочтения цветов были ранжированы таким образом:

И.И.	Белый	Черный	Красный
П.П.	Черный	Красный	Белый
Ф.Ф.	Красный	Белый	Черный

Эксперты решили голосовать в несколько туров путем парного сопоставления цветов, что выглядит очень "научно".

Пусть в первом туре предлагается оценить (белый, черный). Согласно таблице рангов будет выбран белый. Далее во втором туре на голосование ставится пара (белый, красный). И будет выбран красный.

Но если в первом туре будет предложено сначала выбрать из пары (черный, красный), то во второй тур поступит черный. Во втором же туре при выборе пары (белый, черный) будет выбран белый.

Наконец, если в первом туре предлагается выбрать пару (белый, красный), то будет выбран красный, а во втором туре из пары (черный, красный) будет выбран черный.

Итого, три варианта голосования и три разных выбора цвета, три разных победителя. То есть, результат голосования определяется не голосующими, а тем, кто устанавливает систему голосования, то есть устанавливает правила игры.

На основе этих примеров можно получить аналогичные парадоксы при голосовании за кандидатов на ту или иную позицию. Голосование как избранными руководителями, так и населением.

Тем самым теория игр на логическом уровне демонстрирует в задаче голосования, как задачи теории игры не существует универсального решения: всегда найдется набор предпочтений, при которых выбранная система голосования будет давать сбой.

Более точное формулировка этого правила выражается теоремой Эрроу. Правда, для формулирования условий теоремы вначале строго определяются требования к системе голосования. В частности, независимости результатов сравнения, монотонности сравнений и еще ряд более формальных требований (внизу заметки приведена справка по теореме Эрроу, сформированная ИИ от Google 08.05.2026)

Теорема Эрроу. Единственная разумная система голосования - это диктатура.

Логическая сторона игры голосования не затрагивает психологическую природу выбора. Тем не менее, сам подход к выбору содержит интересные психологические результаты. Логическая сторона игры может служить не совсем обычным инструментом идентификации психологических различий игроков. А вот то, что внешняя неопределенность выбора решений в голосовании возводится в ранг внутренней закономерности, является тем, что препятствует проникновению во внешнюю неопределенность, в логический механизм, порождающий такую неопределенность.

Вывод. Традиционная теория игр не умеет отвечать на многие вопросы, поставленные практикой взаимодействия. В лучшем случае теория игр обосновывает методику экспериментов в интересах исследования психологических аспектов поведения.

* * *

Не взирая на то, что некоторые люди возмущаются текстами, сформированным ИИ, привожу такой текст.

Справка по теореме Эрроу, сформированная ИИ от Google 08.05.2026

Теорема Эрроу (теорема о невозможности), сформулированная Кеннетом Эрроу в 1951 году, математически доказывает, что при наличии трех и более альтернатив невозможно создать идеальную систему голосования, которая одновременно удовлетворяла бы критериям справедливости (независимость от посторонних альтернатив, эффективность Парето, отсутствие диктатуры). Любая система неизбежно приводит к «диктатуре» одного голоса.

Основные положения и условия теоремы:

Суть: Если мы хотим иметь справедливые выборы (честные), то мы не можем гарантировать их рациональность (последовательность результатов). Если мы хотим рациональности, нам придется пожертвовать справедливостью, доверившись «диктатору» (одному избирателю или правилу, которое сводится к одному).

Условия (Аксиомы) Эрроу:

1. Неограниченная область: Система должна работать при любых предпочтениях избирателей.
2. Эффективность по Парето: Если все предпочитают А перед Б, то и коллективный выбор должен поставить А выше Б.
3. Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA): Соотношение голосов между А и Б не должно меняться, если из списка убрать вариант В (который никто не выбрал).
4. Отсутствие диктатуры: Нет одного избирателя, чей голос всегда определяет результат, независимо от мнения других.

Результат: Не существует функции общественного выбора, удовлетворяющей всем четырем условиям.