Понятие коэффициент эластичности широко используется в эконометрике.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов (в моменте) измениться результат, если фактор (входной параметр) изменится на 1%.
Формула расчета коэффициента эластичности
Примечательно, что для показательной функции коэффициент эластичности в точности равен показателю степени.
Формула расчета применима для для функций одного аргумента. Однако, если результат зависит от нескольких факторов, то расчет коэффициент эластичности становится довольно сложным.
В эконометрике, на этом вопросе обычно не заостряют внимание, ограничиваясь введением понятия частного коэффициента эластичности.
Пусть построено регрессионное уравнение:
Частный коэффициент эластичности рассчитывается относительно одной, отдельно взятой переменной (отдельно взятого фактора). В этом случае, частный коэффициент эластичности описывает, на сколько процентов изменится результат, если выбранный фактор изменится на 1%, а остальные факторы сохранят прежние значение. Или, как принято говорит в экономике, на сколько процентов изменится результат, если исследуемый фактор изменится на 1% при прочих равных условиях.
Выразим сказанное на языке формул.
Допустим, мы изучаем изменение фактора xi. Но прежде нам нужно выбрать в многомерном пространстве точку, отталкиваясь от которой будет исследовано влияние фактора xi на результат (y). Пусть это будет точка P0 с координатами (x10, x20, ..., xn0).
Тогда частный коэффициент эластичности может быть представлен следующей формулой:
В заметке Коэффициент эластичности приведены модельные функции результата и соответствующие им коэффициента эластичности. Модельные функции могут быть обобщены на многомерный случай. Чтобы не быть голословными, приведем соответствующие примеры.
Многомерная линейная функция может быть записана в следующей форме:
Здесь αi - косинус вектора x=(x1, x2, ..., xn) с осью Oxi .
Производная функции y по направлению l описывается следующей формулой:
Теперь можно определить коэффициент эластичности по направлению l:
Ответ на второй вопрос
Максимум достигается в направлении градиента, при этом вектор градиента определяется как
Таким образом, мы сумели определить формулы расчета коэффициента эластичности для многомерных моделей результата.
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов (в моменте) измениться результат, если фактор (входной параметр) изменится на 1%.
Формула расчета коэффициента эластичности
Э = 100% * dy/dx * x/y
Примечательно, что для показательной функции коэффициент эластичности в точности равен показателю степени.
Формула расчета применима для для функций одного аргумента. Однако, если результат зависит от нескольких факторов, то расчет коэффициент эластичности становится довольно сложным.
В эконометрике, на этом вопросе обычно не заостряют внимание, ограничиваясь введением понятия частного коэффициента эластичности.
Пусть построено регрессионное уравнение:
y = f(x1, x2, ..., xn).
Частный коэффициент эластичности рассчитывается относительно одной, отдельно взятой переменной (отдельно взятого фактора). В этом случае, частный коэффициент эластичности описывает, на сколько процентов изменится результат, если выбранный фактор изменится на 1%, а остальные факторы сохранят прежние значение. Или, как принято говорит в экономике, на сколько процентов изменится результат, если исследуемый фактор изменится на 1% при прочих равных условиях.
Выразим сказанное на языке формул.
Допустим, мы изучаем изменение фактора xi. Но прежде нам нужно выбрать в многомерном пространстве точку, отталкиваясь от которой будет исследовано влияние фактора xi на результат (y). Пусть это будет точка P0 с координатами (x10, x20, ..., xn0).
Тогда частный коэффициент эластичности может быть представлен следующей формулой:
Многомерная линейная функция может быть записана в следующей форме:
Подобное регрессионное уравнение формируется на самом первом этапе и если данное уравнение удовлетворительно описывается эмпирические данные, то оно и используется на практике. В более "сложных" случаях могут использоваться другие модели. Например, обобщение производственной функции Кобба-Дугласа может быть представлено многомерной степенной функции или линейной функцией от логарифмов факторов. Последняя модель получается в результате логарифмирования многомерной степенной функции.
Наконец, для описания процессов с насыщением может использоваться следующая модель:
Использование частный коэффициентов эластичности может быть полезным для анализа чувствительности каждого фактора в отдельности, но этого недостаточно.
После анализа каждого фактора в отдельности обязательно возникнут следующие вопросы:
- Чему равен коэффициент эластичности (какова чувствительность) при совокупном изменении факторов?
- При каком сочетании изменения факторов достигается максимальная эластичность?
Для ответа на первый вопрос необходимо использовать более сложные математические конструкции - производную по направлению (ответ на первый вопрос) и градиент (ответ на второй вопрос).
Для описания "направления" изменения введем вектор изменения - (Δx1, Δx2, ..., Δxn), описывающий изменение (увеличение или уменьшение) факторов xi в точке P0 с координатами (x10, x20, ..., xn0).
Направление, которое обозначим - l, описывается направляющими косинусами, которые описываются формулой:
Здесь αi - косинус вектора x=(x1, x2, ..., xn) с осью Oxi .
Производная функции y по направлению l описывается следующей формулой:
- При каком сочетании изменения факторов достигается максимальная эластичность?
Максимум достигается в направлении градиента, при этом вектор градиента определяется как
Комментариев нет:
Отправить комментарий