Из книги "Апология матетатика" Харди.
Серьезность теоремы
Серьезность теоремы заключается, конечно, не в ее влиянии — последнее лишь подтверждает ее серьезность. Красота математической теоремы во многом зависит от ее серьезности
Примеры серьезных теорем.
- Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел.
- Доказательство Пифагора, подтверждающее «иррациональность» квадратного корня из двух.
- Очень красивая теорема — теорема Ферма «о двух квадратах».
- Теорема Кантора о «несчетности» континуума.
На теореме Евклида держится вся арифметика. Простые числа — как строительный материал, и теорема Евклида гарантирует, что этого ресурса нам хватит для решения всех арифметических задач. А вот область применения теоремы Пифагора гораздо шире, и сформулирована она гораздо лучше.
Теорема Евклида гарантирует, что мы располагаем достаточным количеством строительного материала для создания полноценной арифметики целых чисел. А теорема Пифагора и ее следствия показали, что такой арифметикой нам не обойтись, так как существует множество достойных внимания величин, измерить которые в целых числах нельзя; диагональ квадрата — лишь самый очевидный тому пример.
Значимость идеи
Значимая математическая идея (и, соответственно, серьезная теорема) должна обладать определенной степенью обобщенности; то есть быть составляющей многих математических конструкций и входить в доказательства различных теорем. Серьезная теорема, как бы узко она ни была сформулирована изначально (как теорема Пифагора), должна позволять достаточно широкие обобщения и представлять целый класс теорем подобного рода.
Концепция «иррациональных чисел» глубже концепции целых, а теорема Пифагора, соответственно, глубже Евклидовой.
Обе теоремы (и под теоремами я, разумеется, имею в виду и их доказательства) отличает высокая степень непредсказуемости в сочетании с непреложностью и экономностью. Доводы поражают своей неожиданностью, применяемые методы кажутся по-детски простыми по сравнению с далекоидущими последствиями; при этом выводы неопровержимы. В рассуждениях нет нагромождения подробностей — каждая строчка бьет в цель.
О реальности, математической и физической
Очень часто, например, астроном или физик спешат объявить, что вывели «математическое доказательство», объясняющее определенное поведение Вселенной. Подобные заявления, если воспринимать их буквально, - полнейший вздор. Невозможно доказать математически, что назавтра наступит затмение, ибо затмения, как и прочие физические явления, не являются частью абстрактного мира математики.
Значимая математическая идея (и, соответственно, серьезная теорема) должна обладать определенной степенью обобщенности; то есть быть составляющей многих математических конструкций и входить в доказательства различных теорем. Серьезная теорема, как бы узко она ни была сформулирована изначально (как теорема Пифагора), должна позволять достаточно широкие обобщения и представлять целый класс теорем подобного рода.
Концепция «иррациональных чисел» глубже концепции целых, а теорема Пифагора, соответственно, глубже Евклидовой.
Обе теоремы (и под теоремами я, разумеется, имею в виду и их доказательства) отличает высокая степень непредсказуемости в сочетании с непреложностью и экономностью. Доводы поражают своей неожиданностью, применяемые методы кажутся по-детски простыми по сравнению с далекоидущими последствиями; при этом выводы неопровержимы. В рассуждениях нет нагромождения подробностей — каждая строчка бьет в цель.
О реальности, математической и физической
Очень часто, например, астроном или физик спешат объявить, что вывели «математическое доказательство», объясняющее определенное поведение Вселенной. Подобные заявления, если воспринимать их буквально, - полнейший вздор. Невозможно доказать математически, что назавтра наступит затмение, ибо затмения, как и прочие физические явления, не являются частью абстрактного мира математики.
Я убежден, что математическая реальность находится вне нас, что наша задача — открывать или просто наблюдать ее и что теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем собственными «творениями», — всего лишь заметки по ходу наших наблюдений.
Какой бы ни была реальность физика, в ней мало или вообще нет признаков того, что под реальностью подразумевает здравый смысл. Стул может быть как множеством взаимосвязанных электронов, так и божественным замыслом: любое из этих определений имеет свои достоинства, но ни одно не соответствует представлениям здравого смысла.
Ни физикам, ни философам до сих пор не удалось дать убедительное определение «физической реальности» или объяснить, как от запутанного нагромождения фактов или ощущений физик переходит к созданию объектов, которые зовутся «реальными». Поэтому утверждать, будто нам понятна суть физики, мы не можем, зато вполне представляем себе, чем именно занимается физик. Физик пытается свести разрозненную массу не связанных между собой фактов к некой упорядоченной системе абстрактных отношений, позаимствовать которую можно только в математике.
Математик же, напротив, имеет дело с собственной математической реальностью, на которую я смотрю с точки зрения «реалиста», а не «идеалиста» В любом случае (в чем и состоял мой главный тезис) реалистичный взгляд возможен скорее в математической, чем в физической реальности, потому что объекты в математике куда ближе к тому, чем кажутся.
Стул или звезда нисколько не похожи на то, какими нам видятся; и чем больше мы о них думаем, тем размытее их очертания в тумане порождаемых ими ощущений. Тогда как число «2» или «317» никак не зависит от ощущений, а их свойства становятся лишь отчетливее по мере их изучения. Современная физика как раз лучше всего вписывается в идеалистическую философию: я этому не верю, но так говорят признанные физики. Фундаментальная же математика представляется мне камнем, на котором зиждется весь идеализм: 317 — простое число не потому, что мы так думаем или наше мышление имеет ту или иную направленность, а потому, что так оно и есть, так устроена математическая реальность.
---
Харди Годфри Гарольд. АПОЛОГИЯ МАТЕМАТИКА
Какой бы ни была реальность физика, в ней мало или вообще нет признаков того, что под реальностью подразумевает здравый смысл. Стул может быть как множеством взаимосвязанных электронов, так и божественным замыслом: любое из этих определений имеет свои достоинства, но ни одно не соответствует представлениям здравого смысла.
Ни физикам, ни философам до сих пор не удалось дать убедительное определение «физической реальности» или объяснить, как от запутанного нагромождения фактов или ощущений физик переходит к созданию объектов, которые зовутся «реальными». Поэтому утверждать, будто нам понятна суть физики, мы не можем, зато вполне представляем себе, чем именно занимается физик. Физик пытается свести разрозненную массу не связанных между собой фактов к некой упорядоченной системе абстрактных отношений, позаимствовать которую можно только в математике.
Математик же, напротив, имеет дело с собственной математической реальностью, на которую я смотрю с точки зрения «реалиста», а не «идеалиста» В любом случае (в чем и состоял мой главный тезис) реалистичный взгляд возможен скорее в математической, чем в физической реальности, потому что объекты в математике куда ближе к тому, чем кажутся.
Стул или звезда нисколько не похожи на то, какими нам видятся; и чем больше мы о них думаем, тем размытее их очертания в тумане порождаемых ими ощущений. Тогда как число «2» или «317» никак не зависит от ощущений, а их свойства становятся лишь отчетливее по мере их изучения. Современная физика как раз лучше всего вписывается в идеалистическую философию: я этому не верю, но так говорят признанные физики. Фундаментальная же математика представляется мне камнем, на котором зиждется весь идеализм: 317 — простое число не потому, что мы так думаем или наше мышление имеет ту или иную направленность, а потому, что так оно и есть, так устроена математическая реальность.
---
Однажды я написал: «Наука считается полезной, если ее развитие обостряет существующее неравенство в распределении богатства или еще более явно способствует разрушению человеческой жизни». Эту фразу, написанную в 1915 году, неоднократно цитировали (как за, так и против меня). Разумеется, ее следует рассматривать как чисто риторическое заявление, вполне, впрочем, простительное, учитывая время его появления. — Примеч. авт.
---
---
Харди Годфри Гарольд. АПОЛОГИЯ МАТЕМАТИКА
