Закон исключенного третьего

Закон Пирса: почему он работает в классической логике, но не в интуиционистской?

Формула закона Пирса выглядит так:
((P → Q) → P) → P

На первый взгляд, она может показаться абстрактной, но её смысл связан с одним из фундаментальных различий между классической и интуиционистской логикой.

Почему он справедлив в классической логике?

В классической логике истина каждого утверждения оценивается через два состояния — "истинно" или "ложно". Этот подход позволяет использовать закон исключённого третьего (P ∨ ¬P), благодаря которому мы можем доказать формулу Пирса. Если P ложно, то импликация (P → Q) будет истинной независимо от Q, а значит, ((P → Q) → P) сводится к "ложь → ложь", что снова истинно.

А в интуиционистской ?

В интуиционистской логике истина утверждения зависит от того, можем ли мы его доказать. Закон исключённого третьего не принимается как аксиома — для интуиционистской логики недостаточно заявить, что либо P, либо ¬P; необходимо предъявить доказательство одного из них. Формула Пирса требует "выхода" за рамки конструктивных методов, так как её доказательство основывается на допущении, что истина либо "просто существует," либо может быть выведена из противоречия.

Пример: Если у нас есть гипотетическое утверждение P, но доказательство его истинности или ложности отсутствует, мы не можем использовать закон Пирса. Интуиционистская логика требует, чтобы доказательства были конструктивными — "вывести" P из ((P → Q) → P) не получится, если мы не обладаем явным доказательством P или (P → Q).