Объем задачи, заданной Гильбертом, был огромен. Он предлагал подходить к физике, где математика играет важную роль, так же, как к геометрии — через аксиомы. По словам Дэйва Левермора, математика из Университета Мэриленда, это была скорее программа, чем задача с конкретным решением. Полное решение шестой проблемы, по сути, невозможно, но Гильберт указал направление. Например, он интересовался, можно ли доказать, что разные уравнения, описывающие свойства газа (движение молекул или его среднюю температуру), являются различными аспектами одной реальности, как предполагали физики, но не могли строго обосновать.
За 125 лет даже частичное решение этой задачи казалось недостижимым. Математики делали шаги вперед, доказывая связи между уравнениями только в особых случаях — например, для очень коротких временных интервалов или искусственно упрощенных условий. Однако это не соответствовало масштабам замысла Гильберта. И вот, спустя более чем век, трое математиков — Юй Денг, Захер Хани и Сяо Ма — добились значительного прогресса, решив одну из ключевых частей проблемы. Их работа не только продвигает программу Гильберта, но и затрагивает вопросы необратимости времени.
Рассмотрим газ с сильно разбросанными частицами. Физики моделируют его на разных уровнях. На микроскопическом уровне газ состоит из молекул, которые ведут себя как бильярдные шары, двигаясь по законам Ньютона. Эта модель называется системой твердых сфер. Если отойти чуть дальше, на мезоскопическом уровне, отслеживать каждую молекулу становится невозможно. Здесь применяется уравнение Больцмана, разработанное Джеймсом Клерком Максвеллом и Людвигом Больцманом в XIX веке. Оно описывает вероятное поведение молекул, указывая, сколько частиц можно найти в разных точках с разными скоростями. Это помогает изучать, например, движение воздуха вокруг космического корабля.
Еще дальше, на макроскопическом уровне, газ воспринимается как сплошная субстанция. Для описания его плотности и скорости движения используется набор уравнений Навье-Стокса. Физики считают эти модели совместимыми, но математики, работавшие над шестой проблемой Гильберта, стремились доказать это строго. Они хотели показать, что модель Ньютона порождает уравнение Больцмана, а оно, в свою очередь, ведет к уравнениям Навье-Стокса.
Частичный успех был достигнут на втором этапе: доказано, что из мезоскопической модели можно вывести макроскопическую в определенных условиях. Но первый шаг — от микроскопического к мезоскопическому — оставался нерешенным, нарушая логическую цепочку. Теперь это изменилось. В серии работ Денг, Хани и Ма доказали этот сложный переход для газа в одной из заданных ситуаций, впервые завершив цепочку.
Больцман показал, что законы Ньютона могут привести к его уравнению, если молекулы газа движутся относительно независимо друг от друга, то есть повторные столкновения одной и той же пары молекул редки. Однако он не мог математически доказать эту гипотезу из-за отсутствия подходящих инструментов. Оскар Ланфорд в 1975 году частично решил эту задачу, доказав гипотезу для крайне коротких временных интервалов — менее чем за миг. Но его доказательство рушилось, если учитывать более длительные периоды, когда вероятность повторных столкновений возрастала.
Долгие годы математики пытались расширить результат Ланфорда, но безуспешно. В ноябре 2023 года Денг и Хани опубликовали препринт, намекающий на предстоящее доказательство. Они планировали развить свои находки для исследования долгосрочного расширения теоремы Ланфорда.
В 2023 году Денг и Хани анализировали переход от микроскопического к мезоскопическому уровню для волн. Годом раньше Денг на конференции встретил аспиранта Принстона Сяо Ма, и их обсуждение привело к идее адаптации методов к частицам. Это позволило бы показать редкость повторных столкновений на более длительных интервалах. Вдохновленные идеями Ма, они пригласили его в команду. Троица сосредоточилась на изученной ситуации: разреженный газ сферических частиц в замкнутом ящике, где частицы, ударяясь о стенки, появляются с противоположной стороны.
Для доказательства микроскопического шага они начали с более простой модели — газа в бесконечном пространстве, где частицы со временем рассеиваются и перестают сталкиваться. Здесь Денг отметил наличие "сокращения пути". Они классифицировали возможные схемы столкновений и их вероятности, исключая случаи с высоким числом повторных столкновений. Оставшиеся, хоть и многочисленные, схемы анализировались детально. Сложность заключалась в учете множества частиц и косвенных взаимодействий.
Опыт Денга и Хани с волнами помог: они научились разбивать сложные паттерны на простые, оценивая вероятности. Однако частицы, в отличие от волн, отскакивают друг от друга, что потребовало переработки подхода. Команда начала с простых случаев — несколько столкновений без повторений — и постепенно усложняла задачу. Это был процесс, занимавший месяцы, с ежедневными встречами на Zoom, иногда по ночам.
К весне 2024 года доказательство было готово. Летом они опубликовали работу, показав, что в модели бесконечного пространства уравнение Больцмана выводится из законов Ньютона. Осенью они адаптировали результат для газа в ящике, где 80% доказательства осталось прежним. В марте 2025 года новый препринт объединил их находки с ранее доказанными связями между уравнениями Больцмана и Навье-Стокса, завершив логическую цепочку.
Эта работа не только решает часть проблемы Гильберта, но и объясняет парадокс времени. На микроскопическом уровне время обратимо по законам Ньютона, но на мезо- и макроуровнях — нет. Больцман утверждал, что почти все сценарии приводят к рассеянию газа, а обратное развитие маловероятно. Денг, Хани и Ма подтвердили это для реалистичных условий.
Источник
https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/
Для доказательства микроскопического шага они начали с более простой модели — газа в бесконечном пространстве, где частицы со временем рассеиваются и перестают сталкиваться. Здесь Денг отметил наличие "сокращения пути". Они классифицировали возможные схемы столкновений и их вероятности, исключая случаи с высоким числом повторных столкновений. Оставшиеся, хоть и многочисленные, схемы анализировались детально. Сложность заключалась в учете множества частиц и косвенных взаимодействий.
Опыт Денга и Хани с волнами помог: они научились разбивать сложные паттерны на простые, оценивая вероятности. Однако частицы, в отличие от волн, отскакивают друг от друга, что потребовало переработки подхода. Команда начала с простых случаев — несколько столкновений без повторений — и постепенно усложняла задачу. Это был процесс, занимавший месяцы, с ежедневными встречами на Zoom, иногда по ночам.
К весне 2024 года доказательство было готово. Летом они опубликовали работу, показав, что в модели бесконечного пространства уравнение Больцмана выводится из законов Ньютона. Осенью они адаптировали результат для газа в ящике, где 80% доказательства осталось прежним. В марте 2025 года новый препринт объединил их находки с ранее доказанными связями между уравнениями Больцмана и Навье-Стокса, завершив логическую цепочку.
Эта работа не только решает часть проблемы Гильберта, но и объясняет парадокс времени. На микроскопическом уровне время обратимо по законам Ньютона, но на мезо- и макроуровнях — нет. Больцман утверждал, что почти все сценарии приводят к рассеянию газа, а обратное развитие маловероятно. Денг, Хани и Ма подтвердили это для реалистичных условий.
Источник
https://www.quantamagazine.org/epic-effort-to-ground-physics-in-math-opens-up-the-secrets-of-time-20250611/
Комментариев нет:
Отправить комментарий