Геометрическое среднее и арифметическое среднее

―Для того чтобы искренне верить в вечность, надо было, чтобы эту веру разделяли другие, – потому что вера, которую не разделяет никто, называется шизофренией.

В.Пелевин.

Когда нельзя использовать среднее арифметическое

Для очень темпов роста не стоит пользоваться средним арифметическим.

Пример.

Рассмотрим некоторый бизнес на интерале 5 лет.

Пусть первые четыре года прирост капитала фирмы составлял 100%.

В последний, пятый год фирма обанктротилась. То есть прирост составил минус 100%.

Рассчитаем среднее и получим 300%/5 = 60% в год. Вроде успешно все выглядит, хотя фирмы уже нет.

Рассчитаем среднее геометрическое. Но перед этим нужно избавиться от отрицательных значений. Для этого нужно перейти к мультипликатором. Прирост на 100% соответствует мультипликатору - 2. Прирост -100% соответствует мультипликатору - 0.

Отсюда видно, что в нашем примере среднее геометрическое равно нулю и показатель, в данном случае его можно рассматривать как KPI равен 0, что и соответствует реальности.

Рассмотрим менее драматический пример,  а именно, пусть в последний год прирост 0%.

В этом случае

• среднее арифметическое - 400%/5 = 80% в год.
• среднее геометрическое (корень пятой степени из 16) - 1,7411. Что соответствует 74,11% в год.

Среднее геометрическое соответствует сложному проценту, используемому для расчета окупаемости инвестиций.

Среднеарифметическое приблизительно равно среднегеометрическому плюс 1/2 дисперсии.

Геометрическое среднее и арифметическое среднее

Вначале формулы.
Для ряда формул {x_i}, i = 1,2,...,n среднее арифметическое рассчитывается по формуле.

А среднее геометрическое - по такой формуле:

Среднее арифметическое двух чисел x₁ и x₂ также называется средним пропорциональным, поскольку среднее геометрическое двух чисел x₁ и x₂ обладает следующим свойством:

- среднее геометрическое относится к первому числу так же как второе число относится к среднему геометрическому.

Примечание. Обобщение всех видов "средних" осуществлено. Это - среднее по Колмогорову.
Абстрактная формула среднего по Колмогорову:

Если

• φ(x) = x - то имеем среднее арифметическое
• φ(x) = ln(x) - то имеем среднее геометрическое
• φ(x) = 1/x - то имеем среднее гармоническое
• φ(x) = x²- то имеем среднее квадратическое
• φ(x) = x^α - то имеем среднее степенное