Ожидаемая полезность и выбор, задача Бернулли и влияние точки отсчета богатства на выбор

Даниеэль Каннеман в книге "Думай медленно, решай быстро" о неприятии потерь.

Что бы вы предпочли?

• А. Получить 100$ если на монете выпадет орел. (Заметим, что 50$ - математическое ожидание, но чтобы это понять, нужно знать теорию вероятности!).
• Б. Гарантированно получить 46$.

До Бернулли математики предполагали, что игры оцениваются по их ожидаемой ценности согласно формуле расчета математического ожидания. Бернулли обнаружил, что, как правило, люди не любят рисковать из-за шанса получить худший из возможных исходов. Они обычно выбирают гарантированную сумму страхуясь от неопределенности.

Бернулли применил новое понятие — «моральное ожидание».

Бернулли подсчитывал, сколько согласится заплатить купец в Санкт-Петербурге за страхование груза пряностей из Амстердама, если будет знать, что в это время года из пять из ста кораблей, идущих из Амстердама в Санкт-Петербург, - пропадают. Функция полезности пояснила, почему бедные люди покупают страховку и почему богатые продают ее беднякам. Более бедный человек охотно заплатит за страховку, чтобы переложить риск на более богатого — в этом и состоит суть страхования. Бернулли также предложил решение знаменитого «санкт-петербургского парадокса», по которому люди, которым предлагают игру с бесконечной ожидаемой ценностью (в денежном выражении), готовы поставить только небольшую сумму.

Одинаковы ли счастливы Джек и Джилл?

• Сегодня у Джека и Джилл есть по 5 миллионов у каждого.
• Вчера у Джека был 1 миллион, а у Джилл — 9 миллионов.

Согласно теории полезности у Джека и Джилла одиковое богатство и одинаковая полезность. Но Джек ликует, а Джилл - плачет! И тут полезность не проходит, так как при расчете не была уточнена точка отсчета богатства. Радость, которую испытывают Джек или Джилл, определяется последними изменениями их богатства относительно различных состояний, определяющих точку отсчета (1 миллион для Джека, 9 миллионов для Джилл).

Другой пример.

• У Энтони — 1 миллион.
• У Бетти — 4 миллиона.

Обоим предлагается выбор.

• Сыграть - с равной вероятностью иметь 1 миллион или 4 миллиона (вероятности исходов 0.5)
• Гарантировано иметь 2 миллиона.

Выбор у Энтони и Бетти одинаков с точки зрения полезности (по Бернулли) одинаков:

• 2.5 миллиона в игре (математическое ожидание).
• 2 миллиона гарантированно.

Но с учетом точки отсчета - выбор совсем не одинаков! Выбор разный: Энтони радуется, Бетти - горюет.

• Энтони (у которого сейчас 1 миллион): «Если я выберу гарантированные деньги, мое состояние удвоится. Это очень заманчиво. С другой стороны, я могу сыграть — с равными шансами получить вчетверо больше или не выиграть ничего».
• Бетти (у которой 4 миллиона): «Если я выберу гарантированные деньги, я потеряю половину состояния — и это ужасно. С другой стороны, я могу сыграть — с равными шансами потерять три четверти состояния или не потерять ничего».